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【 解 答 】

(1)

第 \(1\) 式より \[ \left\{\begin{array}{ll} y \geqq | x^2-5 | -4 & \ ( \ y \lt 0 \text{のとき} ) \\ y \leqq | x^2-5 | -4 & \ ( \ y \geqq 0 \text{のとき} ) \end{array}\right. \] 第 \(2\) 式より \[ y \leqq -(x-1)^2 +4 = -(x+1)(x-3) \] よって, \(D\) は下図斜線部（境界含む）

(2)

求める面積 \(S\) は \[\begin{align} S & = \displaystyle\int _ {-1}^{1} (1-x^2) \, dx -\displaystyle\int _ {1}^{\sqrt{5}} (1-x^2) \, dx \\ & \qquad -\displaystyle\int _ {\sqrt{5}}^{3} (x^2-9) \, dx \\ & = \dfrac{1}{6} \cdot 2^3 -\left[ x -\dfrac{x^3}{3} \right] _ {1}^{\sqrt{5}} -\left[ \dfrac{x^3}{3} -9x \right] _ {\sqrt{5}}^{3} \\ & = \dfrac{4}{3} +\left( \dfrac{2}{3} +\dfrac{2 \sqrt{5}}{3} \right) +\left( 18 -\dfrac{22 \sqrt{5}}{3} \right) \\ & = \underline{20 -\dfrac{20 \sqrt{5}}{3}} \end{align}\]

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【 解 答 】

(1)

操作 (P) を行っても, 円の直径の和は不変なので, 周の長さの和は \[ \underline{2 \pi} \]

(2)

任意の半径 \(k\) の円に対して, 操作 (P) を行うと, 得られる円の面積の和は \[\begin{align} \pi (rk)^2 & +\pi \left\{ (1-r)k \right\}^2 \\ & = \pi k^2 \left( 2r^2-2r+1 \right) \end{align}\] したがって, 円の面積の和は, \(2r^2-2r+1\) 倍になる.
よって, (P) を \(2\) 回行って得られる円の面積の和は \[ \underline{\pi \left( 2r^2-2r+1 \right)^2} \]

(3)

(2) と同様に考えれば, 求める面積の和は \[ \underline{\pi \left( 2r^2-2r+1 \right)^n} \]

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【 解 答 】

自然数 \(m = 10N+k \ ( k = 0 , 1 , \cdots , 9 )\) と表す.
法を \(100\) として \[\begin{align} 5m^4 & \equiv 5 ( 10N+k )^4 \\ & \equiv 5 ( 100N^2 +20Nk +k^2 )^2 \\ & \equiv 5 k^2 ( 20N+k )^2 \\ & \equiv 5 k^2 ( 400N^2 +40Nk +k^2 ) \\ & \equiv 5 k^4 \end{align}\] したがって, \(5k^4\) の下 \(2\) 桁について考えればよい.
あらためて, \(k = 0 , \pm 1 , \cdots , \pm 4 , 5\) とおくことができる.
このとき, 各数の下 \(2\) 桁は下表のようになる. \[ \begin{array}{c|cccccc} k & 0 & \pm 1 & \pm 2 & \pm 3 & \pm 4 & 5 \\ \hline k^2 & 0 & 1 & 4 & 9 & 16 & 25 \\ \hline k^4 & 0 & 1 & 16 & 81 & 56 & 25 \\ \hline 5k^4 & 0 & 5 & 80 & 5 & 80 & 25 \end{array} \] よって, 求める値は \[ \underline{0 , 5 , 25 , 80} \]

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【 解 答 】

(1)

1. 1*　\(m \neq n\) のとき
   \(n-m\) 回目で裏が出て, 残り \(m\) 回がすべて表である場合なので \[ p _ m = (1-p) p^m \]

2. 2*　\(m=n\) のとき
   \(n\) 回がすべて表である場合なので \[ p _ n = p^n \]

以上より \[ p _ m = \underline{\left\{ \begin{array}{ll} (1-p) p^m & ( m \neq n \text{のとき} )\\ p^m & ( m=n \text{のとき} ) \end{array} \right.} \]

(2)

1. 1*　\(m \neq n\) のとき \[\begin{align} q _ m & = \textstyle\sum\limits _ {k=0}^{m} p _ k \\ & = (1-p) \cdot \dfrac{1-p^{m+!}}{1-p} \\ & = 1 -p^{m+1} \end{align}\]

2. 2*　\(m=n\) のとき, 明らかに \[ p _ n = 1 \]

以上より \[ p _ m = \underline{\left\{ \begin{array}{ll} 1 -p^{m+1} & ( m \neq n \text{のとき} )\\ 1 & ( m=n \text{のとき} ) \end{array} \right.} \]

(3)

1. 1*　\(m=0\) のとき \[ r _ 0 = {p _ 0}^2 = (1-p)^2 \]

2. 2*　\(1 \leqq m \leqq n-1\) のとき \[\begin{align} r _ m & = {q _ m}^2 -{q _ {m-1}}^2 \\ & = \left( 1-q^{m+1} \right)^2 -\left( 1-q^m \right)^2 \\ & = p^m (1-p) \left\{ 2-p^m (1+p) \right\} \end{align}\] これは1*の場合も満たしている.

3. 3*　\(m=n\) のとき \[\begin{align} r _ n & = {q _ n}^2 -{q _ {n-1}}^2 \\ & = 1 -\left( 1-p^n \right)^2 \\ & = p^n \left( 2 -p^n \right) \end{align}\]

以上より \[ p _ m = \underline{\left\{ \begin{array}{ll} p^m (1-p) \left\{ 2-p^m (1+p) \right\} & ( m \neq n \text{のとき} )\\ p^m \left( 2 -p^m \right) & ( m=n \text{のとき} ) \end{array} \right.} \]

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