正の整数の下 \(2\) 桁とは, \(100\) の位以上を無視した数をいう. たとえば \(2000, 12345\) の下 \(2\) 桁はそれぞれ \(0, 45\) である. \(m\) が正の整数全体を動くとき, \(5 m^4\) の下 \(2\) 桁として現れる数をすべて求めよ.
【 解 答 】
自然数 \(m = 10N+k \ ( k = 0 , 1 , \cdots , 9 )\) と表す.
法を \(100\) として
\[\begin{align}
5m^4 & \equiv 5 ( 10N+k )^4 \\
& \equiv 5 ( 100N^2 +20Nk +k^2 )^2 \\
& \equiv 5 k^2 ( 20N+k )^2 \\
& \equiv 5 k^2 ( 400N^2 +40Nk +k^2 ) \\
& \equiv 5 k^4
\end{align}\]
したがって, \(5k^4\) の下 \(2\) 桁について考えればよい.
あらためて, \(k = 0 , \pm 1 , \cdots , \pm 4 , 5\) とおくことができる.
このとき, 各数の下 \(2\) 桁は下表のようになる.
\[
\begin{array}{c|cccccc} k & 0 & \pm 1 & \pm 2 & \pm 3 & \pm 4 & 5 \\ \hline k^2 & 0 & 1 & 4 & 9 & 16 & 25 \\ \hline k^4 & 0 & 1 & 16 & 81 & 56 & 25 \\ \hline 5k^4 & 0 & 5 & 80 & 5 & 80 & 25 \end{array}
\]
よって, 求める値は
\[
\underline{0 , 5 , 25 , 80}
\]