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表が出る確率が \(p\) , 裏が出る確率が \(1-p\) であるような硬貨がある. ただし, \(0 \lt p \lt 1\) とする. この硬貨を投げて, 次のルール (R) の下で, ブロック積みゲームを行う.

1. (R)
   1. [1]　ブロックの高さは, 最初は \(0\) とする.
   2. [2]　硬貨を投げて表が出れば高さ \(1\) のブロックを \(1\) つ積み上げ, 裏が出ればブロックをすべて取り除いて高さ \(0\) に戻す.

\(n\) を正の整数, \(m\) を \(0 \leqq m \leqq n\) をみたす整数とする.

1. (1)　\(n\) 回硬貨を投げたとき, 最後にブロックの高さが \(m\) となる確率 \(p _ m\) を求めよ.

2. (2)　(1) で, 最後にブロックの高さが \(m\) 以下となる確率 \(q _ m\) を求めよ.

3. (3)　ルール (R) の下で, \(n\) 回の硬貨投げを独立に \(2\) 度行い, それぞれ最後のブロックの高さを考える. \(2\) 度のうち, 高い方のブロックの高さが \(m\) である確率 \(r _ m\) を求めよ. ただし, 最後のブロックの高さが等しいときはその値を考えるものとする.

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【 解 答 】

(1)

1. 1*　\(m \neq n\) のとき
   \(n-m\) 回目で裏が出て, 残り \(m\) 回がすべて表である場合なので \[ p _ m = (1-p) p^m \]

2. 2*　\(m=n\) のとき
   \(n\) 回がすべて表である場合なので \[ p _ n = p^n \]

以上より \[ p _ m = \underline{\left\{ \begin{array}{ll} (1-p) p^m & ( m \neq n \text{のとき} )\\ p^m & ( m=n \text{のとき} ) \end{array} \right.} \]

(2)

1. 1*　\(m \neq n\) のとき \[\begin{align} q _ m & = \textstyle\sum\limits _ {k=0}^{m} p _ k \\ & = (1-p) \cdot \dfrac{1-p^{m+!}}{1-p} \\ & = 1 -p^{m+1} \end{align}\]

2. 2*　\(m=n\) のとき, 明らかに \[ p _ n = 1 \]

以上より \[ p _ m = \underline{\left\{ \begin{array}{ll} 1 -p^{m+1} & ( m \neq n \text{のとき} )\\ 1 & ( m=n \text{のとき} ) \end{array} \right.} \]

(3)

1. 1*　\(m=0\) のとき \[ r _ 0 = {p _ 0}^2 = (1-p)^2 \]

2. 2*　\(1 \leqq m \leqq n-1\) のとき \[\begin{align} r _ m & = {q _ m}^2 -{q _ {m-1}}^2 \\ & = \left( 1-q^{m+1} \right)^2 -\left( 1-q^m \right)^2 \\ & = p^m (1-p) \left\{ 2-p^m (1+p) \right\} \end{align}\] これは1*の場合も満たしている.

3. 3*　\(m=n\) のとき \[\begin{align} r _ n & = {q _ n}^2 -{q _ {n-1}}^2 \\ & = 1 -\left( 1-p^n \right)^2 \\ & = p^n \left( 2 -p^n \right) \end{align}\]

以上より \[ p _ m = \underline{\left\{ \begin{array}{ll} p^m (1-p) \left\{ 2-p^m (1+p) \right\} & ( m \neq n \text{のとき} )\\ p^m \left( 2 -p^m \right) & ( m=n \text{のとき} ) \end{array} \right.} \]