\(a\) を正の実数とする. 座標平面上の曲線 \(C\) を \(y = ax^3 -2x\) で定める. 原点を中心とする半径 \(1\) の円と \(C\) の共有点の個数が \(6\) 個であるような \(a\) の範囲を求めよ.
【 解 答 】
\(C\) と円の式から \(y\) を消去すると
\[\begin{align}
x^2 +( ax^3 -2x )^2 & = 1 \\
\text{∴} \quad a^2 x^6 -4a x^4 +5x^2 -1 & = 0
\end{align}\]
\(t = x^2\) とおけば \(t \geqq 0\) であり
\[
a^2 t^3 -4a t^2 +5t -1 = 0 \quad ... [1]
\]
左辺を \(f(t)\) とおけば, \(f(0) = -1 \neq 0\) なので, [1] が \(t \gt 0\) に異なる \(3\) つの実数解をもつ条件を求めればよい.
\[\begin{align}
f'(t) & = 3a^2 t^2 -8at +5 \\
& = ( 3at -5 ) ( at -1 )
\end{align}\]
\(f'(t) = 0\) をとくと, \(t = \dfrac{1}{a} , \dfrac{5}{3a}\) .
\(t \gt 0\) における \(f(t)\) の増減は下表の通り.
\[
\begin{array}{c|cccccc} a & (0) & \cdots & \dfrac{1}{a} & \cdots & \dfrac{5}{3a} & \cdots \\ \hline f'(t) & & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(t) & (-1) & \nearrow & \text{極大} & \searrow & \text{極小} & \nearrow \end{array}
\]
したがって, 求める条件は
\[
f \left( \dfrac{1}{a} \right) \gt 0 \ \text{かつ} \ f \left( \dfrac{5}{3a} \right) \lt 0
\]
ここで
\[\begin{align}
f \left( \dfrac{1}{a} \right) & = \dfrac{1}{a} -\dfrac{4}{a} +\dfrac{5}{a} -1 \gt 0 \\
& \text{∴} \quad a \lt 2 \ , \\
f \left( \dfrac{5}{3a} \right) & = \dfrac{125}{27a} -\dfrac{100}{9a} +\dfrac{25}{3a} -1 \lt 0 \\
& \text{∴} \quad a \gt \dfrac{50}{27}
\end{align}\]
よって, 求める \(a\) の範囲は
\[
\underline{\dfrac{50}{27} \lt a \lt 2}
\]