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【 解 答 】

\(C\) と円の式から \(y\) を消去すると \[\begin{align} x^2 +( ax^3 -2x )^2 & = 1 \\ \text{∴} \quad a^2 x^6 -4a x^4 +5x^2 -1 & = 0 \end{align}\] \(t = x^2\) とおけば \(t \geqq 0\) であり \[ a^2 t^3 -4a t^2 +5t -1 = 0 \quad ... [1] \] 左辺を \(f(t)\) とおけば, \(f(0) = -1 \neq 0\) なので, [1] が \(t \gt 0\) に異なる \(3\) つの実数解をもつ条件を求めればよい. \[\begin{align} f'(t) & = 3a^2 t^2 -8at +5 \\ & = ( 3at -5 ) ( at -1 ) \end{align}\] \(f'(t) = 0\) をとくと, \(t = \dfrac{1}{a} , \dfrac{5}{3a}\) .
\(t \gt 0\) における \(f(t)\) の増減は下表の通り. \[ \begin{array}{c|cccccc} a & (0) & \cdots & \dfrac{1}{a} & \cdots & \dfrac{5}{3a} & \cdots \\ \hline f'(t) & & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(t) & (-1) & \nearrow & \text{極大} & \searrow & \text{極小} & \nearrow \end{array} \] したがって, 求める条件は \[ f \left( \dfrac{1}{a} \right) \gt 0 \ \text{かつ} \ f \left( \dfrac{5}{3a} \right) \lt 0 \] ここで \[\begin{align} f \left( \dfrac{1}{a} \right) & = \dfrac{1}{a} -\dfrac{4}{a} +\dfrac{5}{a} -1 \gt 0 \\ & \text{∴} \quad a \lt 2 \ , \\ f \left( \dfrac{5}{3a} \right) & = \dfrac{125}{27a} -\dfrac{100}{9a} +\dfrac{25}{3a} -1 \lt 0 \\ & \text{∴} \quad a \gt \dfrac{50}{27} \end{align}\] よって, 求める \(a\) の範囲は \[ \underline{\dfrac{50}{27} \lt a \lt 2} \]

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【 解 答 】

(1)

選ぶ数字を ○ , 選ばない数字を × に置きかえると, ○ が隣り合わない並べ方を考えればよい.
\(1\) は必ず選ぶので, \(N\) 個の ○ に対して, 以下のように並べれば条件をみたす.

• \(N-1\) か所の間と右端に × を \(1\) つずつ並べる.

• \(N-1\) か所の間のうち \(1\) か所に \(2\) つ, 残りに \(1\) つずつ × を並べる.

よって, 求める選び方は \[ 1 +( N-1 ) = \underline{N} \text{通り} \]

(2)

○ が \(K\) 個並ぶ部分を \(\underbrace{\text{○ … ○}} _ K\) と表す.
\(N \geqq 5\) より \(N-2 \gt 2\) なので, 条件をみたす選び方は, 以下の通り.

1. 1*　「 \(\underbrace{\text{○ … ○}} _ N\) × 」で始まるとき
   残りはすべて × で, \(1\) 通り.

2. 2*　「 \(\underbrace{\text{○ … ○}} _ {N-1}\) × 」で始まるとき
   残り \(N\) か所のうち \(1\) か所が ○ で残りが × である場合で \[ N \ \text{通り} \]

3. 3*　「 \(\underbrace{\text{○ … ○}} _ {N-2}\) × 」で始まるとき
   残り \(N+1\) か所のうち \(2\) か所が ○ で残りが × である場合で \[ {} _ {N+1} \text{C}{} _ {2} = \dfrac{N (N+1)}{2} \ \text{通り} \]

4. 4*　「 ○ ○ × 」で始まるとき
   残り \(2N-3\) か所に \(\underbrace{\text{○ … ○}} _ {N-2}\) が \(1\) つある場合で \[ (2N-3) -(N-2) +1 = N \ \text{通り} \]

5. 5*　「 ○ × 」で始まるとき
   残り \(2N-2\) 箇所について

   • \(\underbrace{\text{○ … ○}} _ {N-1}\) が \(1\) つある場合で \[ (2N-2) -(N-1) +1 = N \ \text{通り} \]
   • \(\underbrace{\text{○ … ○}} _ {N-2}\) が \(1\) つ, これと離れた ○ が \(1\) つの場合のうち,
     \(\underbrace{\text{○ … ○}} _ {N-2}\) が両端にある場合（\(2\) 通りある）は, ○ の場所の選び方は \(N-1\) 通りあり,
     \(\underbrace{\text{○ … ○}} _ {N-2}\) が両端にない場合（\(N-1\) 通りある）は, ○ の場所の選び方は \(N-2\) 通りあるので \[ 2 (N-1) +(N-1) (N-2) = N (N-1) \ \text{通り} \]

以上より, 求める選び方は \[\begin{align} & 1 +N +\dfrac{N (N+1)}{2} +N +N +N (N-1) \\ & \qquad = \dfrac{3}{2} N^2 +\dfrac{5}{2} N +1 \\ & \qquad = \underline{\dfrac{1}{2} (3N+2) (N+1) \ \text{通り}} \end{align}\]

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【 解 答 】

(1)

\(2\) つの放物線の式から \(y\) を消去すると \[\begin{align} x^2 +ax +b & = -x^2 \\ \text{∴} \quad 2x^2 +ax +b & = 0 \quad ... [1] \end{align}\] [1] が \(-1 \lt x \lt 0\) , \(0 \lt x \lt 1\) に \(1\) つずつ解を持つ条件を考えればよく, それは \[ f(-1) \gt 0 \ \text{かつ} \ f(0) \lt 0 \ \text{かつ} \ f(1) \gt 0 \] 各式について \[\begin{align} f(-1) & = -a +b +2 \gt 0 \\ & \text{∴} \quad b \gt a-2 \ , \\ f(0) & = b \lt 0 \ , \\ f(1) & = a +b +2 \gt 0 \\ & \text{∴} \quad b \gt -a-2 \\ \end{align}\] よって, \(( a , b )\) のとりうる範囲は下図斜線部（境界は含まない）.

(2)

\(C\) の式より \[ b = -xa -x^2 +y \] これは, 傾き \(-x\) の直線を表す.
\(b = g(a)\) とおいて, この直線が (1) で求めた領域と共有点をもつ条件を考えればよく, それは以下のいずれかである.

1. 1*　\(g(-2) g(2) \lt 0\) すなわち \[ ( y -x^2 +2x ) ( y -x^2 -2x ) \lt 0 \]

2. 2*　「 \(g(-2) \lt 0\) かつ \(g(2) \lt 0\) かつ \(g(0) \gt -2\) 」すなわち \[ y \lt x^2 +2x \ \text{かつ} \ y \lt x^2 -2x \ \text{かつ} \ y \gt x^2 -2 \]

よって, \(C\) の通りうる領域は下図斜線部（境界は含まない）.

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【 解 答 】

(1)

\(K\) と \(L\) は奇数で, \(4\) で割った余りが等しいので, \(K = 4k \pm 1\) , \(L = 4 \ell \pm 1\) （複号同順, \(k , \ell\) は自然数）とおける.
\(A , B\) を \(4\) で割った余りをそれぞれ \(m , n\) とすれば, \(A = 4a' +m\) , \(B = 4b' +n\) （\(a' , b'\) は自然数）と表せる. \[\begin{align} KA & = 4 ( 4 k a' \pm a' +km ) \pm m \ , \\ LB & = 4 ( 4 \ell b' \pm b' +\ell n ) \pm n \end{align}\] \(KA = LB\) であれば, \(KA , LB\) を \(4\) で割った余りは等しいので \[\begin{align} \pm m & = \pm n \\ \text{∴} \quad m & = n \end{align}\] よって, 題意は示された.

(2)

\(B = \dfrac{a ( a-1 ) \cdots ( a-b+1 )}{b ( 4b-1 ) \cdots 1}\) であることを用いれば, \(0 \leqq k \leqq b-1\) として \[\begin{align} A & = \dfrac{4a+1}{4b+1} \cdot \dfrac{4a}{4b} \cdot \dfrac{4a-1}{4b-1} \cdot \dfrac{4a-2}{4b-2} \cdot \dfrac{4a-3}{4b-3} \cdots \\ & \qquad \cdots \dfrac{4(a-k)}{4(b-k)} \cdot \dfrac{4(a-k)-1}{4(b-k)-1} \cdot \dfrac{4(a-k)-2}{4(b-k)-2} \cdot \dfrac{4(a-k)-3}{4(b-k)-3} \cdots \\ & \qquad \cdots \dfrac{4(a-b)+4}{4} \cdot \dfrac{4(a-b)+3}{3} \cdot \dfrac{4(a-b)+2}{2} \cdot \dfrac{4(a-b)+1}{1} \\ & = \dfrac{4a+1}{4b+1} \cdot \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{4a-1}{4b-1} \cdot \dfrac{2a-1}{2b-1} \cdot \dfrac{4a-3}{4b-3} \cdots \\ & \qquad \cdots \dfrac{a-k}{b-k} \cdot \dfrac{4(a-k)-1}{4(b-k)-1} \cdot \dfrac{2(a-k)-1}{2(b-k)-1} \cdot \dfrac{4(a-k)-3}{4(b-k)-3} \cdots \\ & \qquad \cdots \dfrac{a-b+1}{1} \cdot \dfrac{4(a-b)+3}{3} \cdot \dfrac{2(a-b)+1}{1} \cdot \dfrac{4(a-b)+1}{1} \\ & = B \underline{\left( \dfrac{4a+1}{4b+1} \cdot \dfrac{4a-1}{4b-1} \cdot \dfrac{4a-3}{4b-3} \cdots \dfrac{4(a-k)-1}{4(b-k)-1} \cdot \dfrac{4(a-k)-3}{4(b-k)-3} \cdots \right.} \\ & \qquad \underline{\left.\dfrac{4(a-b)+3}{3} \cdot \dfrac{4(a-b)+1}{1} \right)} _ {[1]} \\ & \qquad \underline{\left( \dfrac{2a-1}{2b-1} \cdots \dfrac{2(a-k)-1}{2(b-k)-1} \cdots \dfrac{2(a-b)+1}{1} \right)} _ {[2]} \end{align}\] ここで, [1] [2] の分子, 分母はすべて奇数の積で, 奇数であることから \[ \left\{ \begin{array}{l} K = ( \ [1] \text{の分子} \ ) \times ( \ [2] \text{の分子} \ ) \\ L = ( \ [1] \text{の分母} \ ) \times ( \ [2] \text{の分母} \ ) \end{array} \right. \quad ... [3] \] とおけば, \(K , L\) は奇数で \(KA = LB\) をみたす.
よって, 題意は示された.

(3)

[1] に含まれる各分数は, 分母と分子を \(4\) で割った余りが等しい.
\(a-b\) が \(2\) で割り切れるので, \(a = b +2p \ ( \ p \text{は整数} \ )\) とおけて \[ [2] = \dfrac{4p+2b-1}{2b-1} \cdots \dfrac{4p+2(b-k)-1}{2(b-k)-1} \cdots \dfrac{4p+1}{1} \] ゆえに, [2] に含まれる各分数も, 分母と分子を \(4\) で割った余りが等しい.
したがって, [3] より\(K\) と \(L\) は \(4\) で割った余りが等しい.
よって, (1) の結果も用いれば, \(A\) と \(B\) は \(4\) で割った余りが等しくなり, 題意は示された.

(4)

(3) の結果を用いれば, 法を \(4\) として \[\begin{align} {} _ {2021} \text{C} {} _ {37} & \equiv {} _ {505} \text{C} {} _ {9} \quad ( \ \text{∵} \ 2021 = 4 \cdot 505 +1 , 37 = 4 \cdot 9 +1 \ ) \\ & \equiv {} _ {126} \text{C} {} _ {2} \quad ( \ \text{∵} \ 505 = 4 \cdot 126 +1 , 9 = 4 \cdot 2 +1 \ ) \\ & \equiv \dfrac{126 \cdot 125}{2} \equiv 63 \cdot 125 \\ & \equiv -1 \cdot 1 \equiv -1 \end{align}\] よって, 求める余りは \[ \underline{3} \]

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