\(a , b\) を実数とする. 座標平面上の放物線 \[ C \ : \ y = x^2 +ax +b \] は放物線 \(y = -x^2\) と \(2\) つの共有点を持ち, 一方の共有点の \(x\) 座標は \(-1 \lt x \lt 0\) を満たし, 他方の共有点の \(x\) 座標は \(0 \lt x \lt -1\) を満たす.
(1) 点 \(( a , b )\) のとりうる範囲を座標平面上に図示せよ.
(2) 放物線 \(C\) の通りうる範囲を座標平面上に図示せよ.
【 解 答 】
(1)
\(2\) つの放物線の式から \(y\) を消去すると \[\begin{align} x^2 +ax +b & = -x^2 \\ \text{∴} \quad 2x^2 +ax +b & = 0 \quad ... [1] \end{align}\] [1] が \(-1 \lt x \lt 0\) , \(0 \lt x \lt 1\) に \(1\) つずつ解を持つ条件を考えればよく, それは \[ f(-1) \gt 0 \ \text{かつ} \ f(0) \lt 0 \ \text{かつ} \ f(1) \gt 0 \] 各式について \[\begin{align} f(-1) & = -a +b +2 \gt 0 \\ & \text{∴} \quad b \gt a-2 \ , \\ f(0) & = b \lt 0 \ , \\ f(1) & = a +b +2 \gt 0 \\ & \text{∴} \quad b \gt -a-2 \\ \end{align}\] よって, \(( a , b )\) のとりうる範囲は下図斜線部（境界は含まない）.
(2)
\(C\) の式より
\[
b = -xa -x^2 +y
\]
これは, 傾き \(-x\) の直線を表す.
\(b = g(a)\) とおいて, この直線が (1) で求めた領域と共有点をもつ条件を考えればよく, それは以下のいずれかである.
1* \(g(-2) g(2) \lt 0\) すなわち \[ ( y -x^2 +2x ) ( y -x^2 -2x ) \lt 0 \]
2* 「 \(g(-2) \lt 0\) かつ \(g(2) \lt 0\) かつ \(g(0) \gt -2\) 」すなわち \[ y \lt x^2 +2x \ \text{かつ} \ y \lt x^2 -2x \ \text{かつ} \ y \gt x^2 -2 \]
よって, \(C\) の通りうる領域は下図斜線部（境界は含まない）.
