以下の問に答えよ.
(1) 正の奇数 \(K , L\) と正の整数 \(A , B\) が \(KA = LB\) を満たしているとする. \(K\) を \(4\) で割った余りが \(L\) を \(4\) で割った余りと等しいならば, \(A\) を \(4\) で割った余りは \(B\) を \(4\) で割った余りと等しいことを示せ.
(2) 正の整数 \(a , b\) が \(a \gt b\) を満たしているとする. このとき, \(A = {} _ {4a+1} \text{C} {} _ {4b+1}\) , \(B = {} _ {a} \text{C} {} _ {b}\) に対して \(KA =LB\) となるような正の奇数 \(K , L\) が存在することを示せ.
(3) \(a , b\) は (2) の通りとし, さらに \(a-b\) が \(2\) で割り切れるとする. \({} _ {4a+1} \text{C} {} _ {4b+1}\) を \(4\) で割った余りは \({} _ {a} \text{C} {} _ {b}\) を \(4\) で割った余りと等しいことを示せ.
(4) \({} _ {2021} \text{C} {} _ {37}\) を \(4\) で割った余りを求めよ.
【 解 答 】
(1)
\(K\) と \(L\) は奇数で, \(4\) で割った余りが等しいので, \(K = 4k \pm 1\) , \(L = 4 \ell \pm 1\) （複号同順, \(k , \ell\) は自然数）とおける.
\(A , B\) を \(4\) で割った余りをそれぞれ \(m , n\) とすれば, \(A = 4a' +m\) , \(B = 4b' +n\) （\(a' , b'\) は自然数）と表せる.
\[\begin{align}
KA & = 4 ( 4 k a' \pm a' +km ) \pm m \ , \\
LB & = 4 ( 4 \ell b' \pm b' +\ell n ) \pm n
\end{align}\]
\(KA = LB\) であれば, \(KA , LB\) を \(4\) で割った余りは等しいので
\[\begin{align}
\pm m & = \pm n \\
\text{∴} \quad m & = n
\end{align}\]
よって, 題意は示された.
(2)
\(B = \dfrac{a ( a-1 ) \cdots ( a-b+1 )}{b ( 4b-1 ) \cdots 1}\) であることを用いれば, \(0 \leqq k \leqq b-1\) として
\[\begin{align}
A & = \dfrac{4a+1}{4b+1} \cdot \dfrac{4a}{4b} \cdot \dfrac{4a-1}{4b-1} \cdot \dfrac{4a-2}{4b-2} \cdot \dfrac{4a-3}{4b-3} \cdots \\
& \qquad \cdots \dfrac{4(a-k)}{4(b-k)} \cdot \dfrac{4(a-k)-1}{4(b-k)-1} \cdot \dfrac{4(a-k)-2}{4(b-k)-2} \cdot \dfrac{4(a-k)-3}{4(b-k)-3} \cdots \\
& \qquad \cdots \dfrac{4(a-b)+4}{4} \cdot \dfrac{4(a-b)+3}{3} \cdot \dfrac{4(a-b)+2}{2} \cdot \dfrac{4(a-b)+1}{1} \\
& = \dfrac{4a+1}{4b+1} \cdot \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{4a-1}{4b-1} \cdot \dfrac{2a-1}{2b-1} \cdot \dfrac{4a-3}{4b-3} \cdots \\
& \qquad \cdots \dfrac{a-k}{b-k} \cdot \dfrac{4(a-k)-1}{4(b-k)-1} \cdot \dfrac{2(a-k)-1}{2(b-k)-1} \cdot \dfrac{4(a-k)-3}{4(b-k)-3} \cdots \\
& \qquad \cdots \dfrac{a-b+1}{1} \cdot \dfrac{4(a-b)+3}{3} \cdot \dfrac{2(a-b)+1}{1} \cdot \dfrac{4(a-b)+1}{1} \\
& = B \underline{\left( \dfrac{4a+1}{4b+1} \cdot \dfrac{4a-1}{4b-1} \cdot \dfrac{4a-3}{4b-3} \cdots \dfrac{4(a-k)-1}{4(b-k)-1} \cdot \dfrac{4(a-k)-3}{4(b-k)-3} \cdots \right.} \\
& \qquad \underline{\left.\dfrac{4(a-b)+3}{3} \cdot \dfrac{4(a-b)+1}{1} \right)} _ {[1]} \\
& \qquad \underline{\left( \dfrac{2a-1}{2b-1} \cdots \dfrac{2(a-k)-1}{2(b-k)-1} \cdots \dfrac{2(a-b)+1}{1} \right)} _ {[2]}
\end{align}\]
ここで, [1] [2] の分子, 分母はすべて奇数の積で, 奇数であることから
\[
\left\{ \begin{array}{l} K = ( \ [1] \text{の分子} \ ) \times ( \ [2] \text{の分子} \ ) \\ L = ( \ [1] \text{の分母} \ ) \times ( \ [2] \text{の分母} \ ) \end{array} \right. \quad ... [3]
\]
とおけば, \(K , L\) は奇数で \(KA = LB\) をみたす.
よって, 題意は示された.
(3)
[1] に含まれる各分数は, 分母と分子を \(4\) で割った余りが等しい.\(a-b\) が \(2\) で割り切れるので, \(a = b +2p \ ( \ p \text{は整数} \ )\) とおけて \[ [2] = \dfrac{4p+2b-1}{2b-1} \cdots \dfrac{4p+2(b-k)-1}{2(b-k)-1} \cdots \dfrac{4p+1}{1} \] ゆえに, [2] に含まれる各分数も, 分母と分子を \(4\) で割った余りが等しい.
したがって, [3] より\(K\) と \(L\) は \(4\) で割った余りが等しい.
よって, (1) の結果も用いれば, \(A\) と \(B\) は \(4\) で割った余りが等しくなり, 題意は示された.
(4)
(3) の結果を用いれば, 法を \(4\) として \[\begin{align} {} _ {2021} \text{C} {} _ {37} & \equiv {} _ {505} \text{C} {} _ {9} \quad ( \ \text{∵} \ 2021 = 4 \cdot 505 +1 , 37 = 4 \cdot 9 +1 \ ) \\ & \equiv {} _ {126} \text{C} {} _ {2} \quad ( \ \text{∵} \ 505 = 4 \cdot 126 +1 , 9 = 4 \cdot 2 +1 \ ) \\ & \equiv \dfrac{126 \cdot 125}{2} \equiv 63 \cdot 125 \\ & \equiv -1 \cdot 1 \equiv -1 \end{align}\] よって, 求める余りは \[ \underline{3} \]