\(a\) を正の定数とし, 放物線 \(y = \dfrac{x^2}{4}\) を \(C _ 1\) とする.
(1) 点 P が \(C _ 1\) 上を動くとき, P と点 Q \(\left( 2a , \dfrac{a^2}{4} -2 \right)\) の距離の最小値を求めよ.
(2) Q を中心とする円 \(( x -2a )^2 +\left( y -\dfrac{a^2}{4} +2 \right)^2 = 2 a^2\) を \(C _ 2\) とする. P が \(C _ 1\) 上を動き, 点 R が \(C _ 2\) 上を動くとき, P と R の距離の最小値を求めよ.
【 解 答 】
(1)
点 P \(\left( t , \dfrac{t^2}{4} \right)\) とおくと \[ \text{PQ}^2 = \left( t -2a \right)^2 +\left( \dfrac{t^2}{4} +\dfrac{a^2}{4} -2 \right)^2 \] これを \(f(t) \ ( t \gt 0 )\) として, \(t\) で微分すると \[\begin{align} f'(t) & = 2 ( t -2a ) +2 \left( \dfrac{t^2}{4} -\dfrac{a^2}{4} -2 \right) \cdot \dfrac{t}{2} \\ & = \dfrac{t^3}{4} +\left( 4 -\dfrac{a^2}{4} \right) t -4a \\ & = \dfrac{1}{4} (t-a) \underline{( t^2 +at +16 )} _ {[1]} \end{align}\] \([1] = 0\) の判別式を \(D\) とおけば \[ D = a^2 -64 = (a+8)(a-8) \]
1* \(0 \lt a \leqq 8\) のとき
\([1] \leqq 0\) なので, \(f(t) = 0\) をとくと \[ t = a \] ゆえに, \(f(t)\) の増減は以下のようになる. \[ \begin{array}{c|cccc} t & (0) & \cdots & a & \cdots \\ \hline f'(t) & & - & 0 & + \\ \hline f(t) & & \searrow & \text{最小} & \nearrow \end{array} \] したがって, 最小値は \[ f(a) = a^2 +4 \]2* \(a \gt 8\) のとき
\(f(t) = 0\) をとくと \[ t = a , \ \dfrac{a +\sqrt{a^2 -64}}{2} \] ゆえに, \(f(t)\) の増減は以下のようになる. \[ \begin{array}{c|cccccc} t & (0) & \cdots & \dfrac{a +\sqrt{a^2 -64}}{2} & \cdots & a & \cdots \\ \hline f'(t) & & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(t) & & \nearrow & \text{極大} & \searrow & \text{極小} & \nearrow \end{array} \] ここで \[\begin{align} f(0) -f(a) & = 4a^2 +\left( \dfrac{a^2}{4} -2 \right)^2 -( a^2 +4 ) \\ & = 3 a^2 +\left( \dfrac{a^2}{4} -2 \right)^2 +4 \gt 0 \end{align}\] なので, 最小値は \[ f(a) = a^2 +4 \]
以上より, 求める最小値は \[ \underline{\sqrt{a^2 +4}} \]
(2)
円 \(C _ 2\) は, 点 Q を中心とする半径 \(\sqrt{2} a\) の円である.
PQ の最小値と, 円 \(C _ 2\) の半径の大小で場合分けして考える.
\[
2 a^2 -( a^2 +4 ) = a^2 -4 = (a+2)(a-2)
\]
なので
1* \(\sqrt{a^2 +4} \gt \sqrt{2} a\) すなわち \(0 \lt a \lt 2\) のとき
\(C _ 1\) と \(C _ 2\) は共有点をもたず, 点 R が, 線分 PQ と \(C _ 2\) の交点となるときに, PR は最小となり, 最小値は \[ \sqrt{a^2 +4} -\sqrt{2} a \]
2* \(\sqrt{a^2 +4} \leqq \sqrt{2} a\) すなわち \(a \geqq 2\) のとき
\(C _ 1\) と \(C _ 2\) は共有点をもつので, PR の最小値は \[ 0 \]
以上より, 求める最小値は \[ \underline{\left\{ \begin{array}{ll} \sqrt{a^2 +4} -\sqrt{2} a & ( \ 0 \lt a \lt 2 \text{のとき} \ ) \\ 0 & ( \ a \geqq 2 \text{のとき} \ ) \end{array} \right.} \]