\(xy\) 平面上に \(3\) 点 O \(( 0 , 0 )\) , A \(( 1 , 0 )\) , B \(( 0 , 1 )\) がある.
(1) \(a \gt 0\) とする. \(\text{OP} : \text{AP} = 1 : a\) を満たす点Pの軌跡を求めよ.
(2) \(a \gt 0 , \ b \gt 0\) とする. \(\text{OP} : \text{AP} : \text{BP} = 1 : a : b\) を満たす点 P が存在するための \(a , b\) に対する条件を求め, \(ab\) 平面上に図示せよ.
【 解 答 】
(1)
P \(( X , Y )\) とおけば \[ \text{OP} = \sqrt{X^2+Y^2} , \ \text{AP} = \sqrt{(X-1)^2+Y^2} \] \(\text{OP} : \text{AP} = 1 : a\) より, \(\text{AP}^2 = a^2 \text{OP}^2\) なので \[\begin{gather} (X-1)^2 +Y^2 = a^2 \left( X^2+Y^2 \right) \\ (1-a^2)X^2 -2X +(1-a^2)Y^2+1 = 0 \end{gather}\]
1* \(a = 1\) のとき \[\begin{align} -2X+1& = 0 \\ \text{∴} \quad X & = \dfrac{1}{2} \end{align}\]
2* \(a \neq 1\) のとき \[\begin{align} X^2 -\dfrac{2X}{1-a^2} +Y^2 +\dfrac{1}{1-a^2} & = 0 \\ \text{∴} \quad \left( X -\dfrac{1}{1-a^2} \right)^2 +Y^2 & = \dfrac{a^2}{1-a^2} \end{align}\]
1* 2* より, 点 P の軌跡は \[ \underline{\left\{ \begin{array}{ll} \text{直線} : \ x = \dfrac{1}{2} \quad ... [1] & ( \ a = 1 \text{のとき} ) \\ \text{円} : \ \left( x -\dfrac{1}{1-a^2} \right)^2 +y^2 = \dfrac{a^2}{1-a^2} \quad ... [2] & ( \ a \neq 1 \text{のとき} ) \end{array} \right.} \]
(2)
\(\text{OQ} : \text{BQ} = 1 : b\) を満たす点 Q の軌跡は, (1) と同様に考えれば \[ \underline{\left\{ \begin{array}{ll} \text{直線} : \ y = \dfrac{1}{2} \quad ... [3] & ( \ b = 1 \text{のとき} ) \\ \text{円} : \ x^2 +\left( y -\dfrac{1}{1-b^2} \right)^2 = \dfrac{b^2}{1-b^2} \quad ... [4] & ( \ b \neq 1 \text{のとき} ) \end{array} \right.} \] P と Q の軌跡が, 共有点を持つための \(a , b\) の条件を求めればよい.
1* \(a = b = 1\) のとき
P , Q の軌跡, [1] と [3] は, 共有点 \(\left( \dfrac{1}{2} , \dfrac{1}{2} \right)\) をもつ.2* \(a \neq 1 , \ b = 1\) のとき
P , Q の軌跡, [2] と [3] が共有点をもつ条件は \[ ( \text{円 [2] の中心と直線 [3] の距離} ) \leqq ( \text{円 [2] の半径} ) \] なので \[\begin{align} \dfrac{1}{2} & \leqq \dfrac{a}{\left| 1-a^2 \right|} \\ \left| 1-a^2 \right| & \leqq 2a \\ -2a \leqq 1-a^2 & \leqq 2a \\ \text{「} a^2-2a-1 \leqq 0 & \text{」かつ「} a^2+2a-1 \geqq 0 \text{」} \\ \text{「} 1 -\sqrt{2} \leqq a \leqq 1+\sqrt{2} & \text{」かつ「} a \leqq -1-\sqrt{2} , -1+\sqrt{2} \leqq a \text{」} \\ \text{∴} \quad \sqrt{2}-1 & \leqq a \leqq \sqrt{2}+1 \end{align}\]3* \(a = 1 , \ b \neq 1\) のとき
P , Q の軌跡, [1] と [4] が共有点をもつ条件は, 2* のときと同様にして \[ \sqrt{2}-1 \leqq b \leqq \sqrt{2}+1 \]4* \(a \neq 1 , \ b \neq 1\) のとき
P , Q の軌跡, [2] と [4] が共有点をもつ条件は \[ ( \text{円 [2] [4] の半径の差} ) \leqq ( \text{円 [2] [4] の中心間の距離} ) \leqq ( \text{円 [2] [4] の半径の和} ) \] なので, 各辺を平方して \[\begin{align} \left( \dfrac{a}{\left| 1-a^2 \right|} -\dfrac{b}{\left| 1-b^2 \right|} \right)^2 & \leqq \dfrac{1}{(1-a^2)^2} +\dfrac{1}{(1-b^2)^2} \leqq \left( \dfrac{a}{\left| 1-a^2 \right|} +\dfrac{b}{\left| 1-b^2 \right|} \right)^2 \\ -\dfrac{2ab}{\left| 1-a^2 \right| \left| 1-b^2 \right|} & \leqq \dfrac{1}{(1-a^2)^2} +\dfrac{1}{(1-b^2)^2} \\ & \qquad -\left\{ \dfrac{a^2}{(1-a^2)^2} +\dfrac{b^2}{(1-b^2)^2} \right\} \leqq \dfrac{2ab}{\left| 1-a^2 \right| \left| 1-b^2 \right|} \\ -\dfrac{2ab}{\left| 1-a^2 \right| \left| 1-b^2 \right|} & \leqq \dfrac{1}{1-a^2} +\dfrac{1}{1-b^2} \leqq \dfrac{2ab}{\left| 1-a^2 \right| \left| 1-b^2 \right|} \end{align}\] したがって \[ \left| \dfrac{1}{1-a^2} +\dfrac{1}{1-b^2} \right| \leqq \dfrac{2ab}{\left| 1-a^2 \right| \left| 1-b^2 \right|} \] \(\left| 1-a^2 \right| \left| 1-b^2 \right| \gt 0\) なので, 各辺の分母を払って \[\begin{align} \left| (1-b^2) +(1-a^2) \right| & \leqq 2ab \\ -2ab \leqq a^2+b^2-2 & \leqq 2ab \\ \text{「} (a+b)^2-2 \geqq 0 \text{」かつ「} & (a-b)^2-2 \leqq 0 \text{」} \\ \text{「} a+b-\sqrt{2} \geqq 0 \text{」かつ「} & (a-b+\sqrt{2})(a-b-\sqrt{2}) \leqq 0 \text{」} \quad ( \ \text{∵} \ a+b+\sqrt{2} \gt 0 ) \\ \text{∴} \quad a+b \geqq \sqrt{2} , \ a-\sqrt{2} & \leqq b \leqq a+\sqrt{2} \end{align}\]
1* ～ 4* より, \(a , b\) の条件は下図斜線部（境界部は含み, 白点は含まない）.
