名古屋大理系2011:第1問

\(-\dfrac{1}{4} \lt s \lt \dfrac{1}{3}\) とする. \(xyz\) 空間内の平面 \(z = 0\) の上に長方形 \[ R_s = \left\{ ( x , y , 0 ) | 1 \leq x \leq 2+4s , 1 \leq y \leq 2-3s \right\} \] がある. 長方形 \(R_s\) を \(x\) 軸のまわりに \(1\) 回転してできる立体を \(K_s\) とする.
  1. (1) 立体 \(K_s\) の体積 \(V(s)\) が最大となるときの \(s\) の値, およびそのときの \(V(s)\) の値を求めよ.
  2. (2) \(s\) を(1)で求めた値とする. このときの立体 \(K_s\) を \(y\) 軸のまわりに \(1\) 回転してできる立体 \(L\) の体積を求めよ.

名古屋大理系2011:第2問

\(A_0 = \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right)\) とする. 整数 \(n \geq 1\) に対して, 次の試行により行列 \(A_{n-1}\) から行列 \(A_n\) を定める.
  1. 「 数字の組 \(( 1 , 1 )\) , \(( 1 , 2 )\) , \(( 2 , 1 )\) , \(( 2 , 2 )\) を \(1\) つずつ書いた \(4\) 枚の札が入っている袋から \(1\) 枚を取り出し, その札に書かれている数字の組が \(( i , j )\) のとき, \(A_{n-1}\) の \(( i , j )\) 成分に \(1\) を加えた行列を \(A_n\) とする. 」
この試行を \(n\) 回( \(n = 2 , 3 , 4 , \cdots\) )くり返した後に, \(A_0 , A_1 , \cdots , A_{n-1}\) が逆行列をもたず \(A_n\) は逆行列をもつ確率を \(p_n\) とする.
  1. (1) \(p_2\) , \(p_3\) を求めよ.
  2. (2) \((n-1)\) 回( \(n = 2 , 3 , 4 , \cdots\) )の試行をくり返した後に, \(A_{n-1}\) の第 \(1\) 行の成分がいずれも正で第 \(2\) 行の成分はいずれも \(0\) である確率 \(p_{n-1}\) を求めよ.
  3. (3) \(p_n\) ( \(n = 2 , 3 , 4 , \cdots\) )を求めよ.

名古屋大理系2011:第3問

\(xy\) 平面上に \(3\) 点O \(( 0 , 0 )\) , A \(( 1 , 0 )\) , B \(( 0 , 1 )\) がある.
  1. (1) \(a \gt 0\) とする. \(\text{OP} : \text{AP} = 1 : a\) を満たす点Pの軌跡を求めよ.
  2. (2) \(a \gt 0 , \ b \gt 0\) とする. \(\text{OP} : \text{AP} : \text{BP} = 1 : a : b\) を満たす点Pが存在するための \(a , b\) に対する条件を求め, \(ab\) 平面上に図示せよ.

名古屋大理系2011:第4問

\(a , b\) は \(a \geq b >0\) を満たす整数とし, \(x\) と \(y\) の \(2\) 次方程式 \(x^2+ax+b = 0\) , \(y^2+by+a = 0\) がそれぞれ整数解をもつとする.
  1. (1) \(a = b\) とするとき, 条件を満たす整数 \(a\) をすべて求めよ.
  2. (2) \(a \gt b\) とするとき, 条件を満たす整数の組 \(( a , b )\) をすべて求めよ.