自然数 \(n\) に対し, 方程式 \[ \dfrac{1}{x^n} -\log x -\dfrac{1}{e} = 0 \] を考える. ただし. 対数は自然対数であり, \(e\) はその底とする.
(1) 上の方程式は \(x \geqq 1\) にただ一つの解をもつことを示せ.
(2) (1) の解を \(x _ n\) とする. このとき \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} x _ n = 1\) を示せ.
【 解 答 】
(1)
\(f(x) = \dfrac{1}{x^n} -\log x -\dfrac{1}{e}\) とおく.
\(x \geqq 1\) において
\[\begin{align}
f'(x) & = -\dfrac{n}{x^{n+1}} -\dfrac{1}{x} \\
& = -\dfrac{n+x^n}{x^{n+1}} \lt 0
\end{align}\]
したがって, \(x \geqq 1\) において \(f(x)\) は単調減少である.
さらに
\[\begin{align}
f(1) & = 1 -\dfrac{1}{e} \gt 0 , \\
f \left( e^{\frac{1}{n}} \right) & = -\dfrac{1}{n} \lt 0
\end{align}\]
であるから, \(f(x)=0\) は \(x \geqq 1\) にただ一つの解をもつ.
(2)
(1) の結果より \[ 1 \lt x _ n \lt e^{\frac{1}{n}} \] ここで \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} e^{\frac{1}{n}} = 1 \] なので, はさみうちの原理より \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} x _ n = 1 \]