座標平面上の \(3\) 点 P \(( x , y )\) , Q \(( -x , -y )\) , R \(( 1 , 0 )\) が鋭角三角形をなすための \(( x , y )\) についての条件を求めよ. また, その条件をみたす点 P \(( x , y )\) の範囲を図示せよ.
【 解 答 】
\[\begin{align} \text{PQ}^2 & = 4 ( x^2 +y^2 ) \ , \\ \text{PR}^2 & = ( x-1 )^2 +y^2 \ , \\ \text{QR}^2 & = ( x+1 )^2 +y^2 \end{align}\] 点 P が \(x\) 軸上にあると, \(3\) 点が一直線上に並んでしまうので \[ y \neq 0 \quad ... [1] \] △PQR が鋭角三角形になる条件は \[ \left\{ \begin{array}{ll} \text{PQ}^2 \lt \text{PR}^2 +\text{QR}^2 & \quad ... [2] \\ \text{PR}^2 \lt \text{QR}^2 +\text{PQ}^2 & \quad ... [3] \\ \text{QR}^2 \lt \text{PQ}^2 +\text{PR}^2 & \quad ... [4] \end{array} \right. \] [2] より \[\begin{align} 4 x^2 +4 y^2 & \lt 2 x^2 +2 y^2 +2 \\ \text{∴} \quad x^2 +y^2 & \lt 1 \end{align}\] [3] より \[\begin{align} -2x & \lt 4 x^2 +4 y^2+2x \\ x^2 +x +y^2 & \gt 0 \\ \text{∴} \quad \left( x +\dfrac{1}{2} \right)^2 +y^2 & \gt \dfrac{1}{4} \end{align}\] [4] より \[\begin{align} 2x & \lt 4 x^2 +4 y^2-2x \\ x^2 -x +y^2 & \gt 0 \\ \text{∴} \quad \left( x -\dfrac{1}{2} \right)^2 +y^2 & \gt \dfrac{1}{4} \end{align}\] よって, 求める条件は \[ \underline{\left\{ \begin{array}{l} x^2 +y^2 \lt 1 \\ \left( x +\dfrac{1}{2} \right)^2 +y^2 \gt \dfrac{1}{4} \\ \left( x -\dfrac{1}{2} \right)^2 +y^2 \gt \dfrac{1}{4} \end{array} \right.} \] 図示すると, 下図斜線部（境界は含まない）. これは, [1] も満たしている.
