A , B , C の \(3\) つのチームが参加する野球の大会を開催する. 以下の方式で試合を行い, \(2\) 連勝したチームが出た時点で, そのチームを優勝チームとして大会は終了する.
(a) \(1\) 試合目で A と B が対戦する.
(b) \(2\) 試合目で, \(1\) 試合目の勝者と, \(1\) 試合目で待機していた C が対戦する.
(c) \(k\) 試合目で優勝チームが決まらない場合は, \(k\) 試合目の勝者と \(k\) 試合目で待機していたチームが \(k+1\) 試合目で対戦する. ここで \(k\) は \(2\) 以上の整数とする.
なお, すべての対戦において, それぞれのチームが勝つ確率は \(\dfrac{1}{2}\) で, 引き分けはないものとする.
(1) ちょうど \(5\) 試合目で A が優勝する確率を求めよ.
(2) \(n\) を \(2\) 以上の整数とする. ちょうど \(n\) 試合目で A が優勝する確率を求めよ.
(3) \(m\) を正の整数とする. 総試合数が \(3m\) 回以下で A が優勝する確率を求めよ.
【 解 答 】
(1)
A が優勝するのは, 次の \(2\) 通りが考えられる.
1* 以下の \(3\) 試合のセットが \(0\) 回以上繰り返された後に, A が B , C に連勝する.
A 対 B で A が勝つ
A 対 C で C が勝つ
B 対 C で B が勝つ
2* 以下の \(3\) 試合のセットが \(1\) 回以上繰り返された後に, A が B に勝つ.
A 対 B で B が勝つ
B 対 C で C が勝つ
A 対 C で A が勝つ
\(5\) 試合目に A が優勝するのは, 1* の場合に当たり, 求める確率は \[ \dfrac{1}{8} \cdot \dfrac{1}{4} = \underline{\dfrac{1}{32}} \]
(2)
1* の場合, A が \(n = 3m-1 \ ( m \geqq 1 )\) 試合目で優勝し, その確率は \[ \left( \dfrac{1}{8} \right)^{m-1} \cdot \dfrac{1}{4} = \left( \dfrac{1}{2} \right)^{3m-1} = \left( \dfrac{1}{2} \right)^n \] 2* の場合, A が \(n = 3m+1 \ ( m \geqq 1 )\) 試合目で優勝し, その確率は \[ \left( \dfrac{1}{8} \right)^m \cdot \dfrac{1}{2} = \left( \dfrac{1}{2} \right)^{3m+1} = \left( \dfrac{1}{2} \right)^n \] よって, 求める確率は \[ \underline{\left\{ \begin{array}{ll} 0 & ( \ n \ \text{が} \ 3 \ \text{の倍数のとき} \ ) \\ \left( \dfrac{1}{2} \right)^n & ( \ n \ \text{が} \ 3 \ \text{の倍数でないとき} \ ) \end{array} \right.} \]
(3)
(2) の結果から, 求める確率は \[\begin{align} & \textstyle\sum\limits _ {k=2}^{3m} \left( \dfrac{1}{2} \right)^k -\textstyle\sum\limits _ {k=1}^{m} \left( \dfrac{1}{2} \right)^{3k} \\ & \quad = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1 -\left( \dfrac{1}{2} \right)^{3m}}{1 -\dfrac{1}{2}} -\dfrac{1}{2} -\dfrac{1}{8} \cdot \dfrac{1 -\left( \dfrac{1}{8} \right)^m}{1 -\dfrac{1}{8}} \\ & \quad = \dfrac{1}{2} -\left( \dfrac{1}{8} \right)^m -\dfrac{1}{7} \left\{ 1 -\left( \dfrac{1}{8} \right)^m \right\} \\ & \quad = \underline{\dfrac{5}{14} -\dfrac{6}{7} \left( \dfrac{1}{8} \right)^m} \end{align}\]