座標平面上の \(2\) つの放物線 \[\begin{align} A : & \ y = x^2 \\ B : & \ y = -x^2 +px +q \end{align}\] が点 \(( -1 , 1 )\) で接している. ここで, \(p\) と \(q\) は実数である. さらに, \(t\) を正の実数とし, 放物線 \(B\) を \(x\) 軸の正の方向に \(2t\) , \(y\) 軸の正の方向に \(t\) だけ平行移動して得られる放物線を \(C\) とする.

1. (1)　\(p\) と \(q\) の値を求めよ.

2. (2)　放物線 \(A\) と \(C\) が囲む領域の面積を \(S(t)\) とする. ただし, \(A\) と \(C\) が領域を囲まないときは \(S(t) = 0\) と定める. \(S(t)\) を求めよ.

3. (3)　\(t \gt 0\) における \(S(t)\) の最大値を求めよ.

【 解 答 】

(1)

A の式より \[ y' = 2x \] B の式より \[ y' = -2x +p \] A , B が 点 \(( -1 , 1 )\) で接するので, 傾きに着目して \[\begin{align} -2 & = 2+p \\ \text{∴} \quad p & = \underline{-4} \end{align}\] また \[\begin{align} 1 & = -1 +4 +q \\ \text{∴} \quad q & = \underline{-2} \end{align}\]

(2)

C の式は \[\begin{align} y & = -( x -2t )^2 -4 ( x -2t ) -2 +t \\ & = -x^2 +4 ( t-1 ) x -4t^2 +9t -2 \end{align}\] A , C の式より, \(y\) を消去すれば \[ 2x^2 -4 ( t-1 ) x +4t^2 -9t +2 = 0 \quad ... [1] \] [1] の判別式を \(D\) とすれば \[\begin{align} \dfrac{D}{4} & = 4 ( t-1 )^2 -2 ( 4t^2 -9t +2 ) \\ & = -4 t^2 +10 t \\ & = -4 t \left( t -\dfrac{5}{2} \right) \end{align}\]

1. 1*　\(D \gt 0\) すなわち \(0 \lt t \lt \dfrac{5}{2}\) のとき
   [1] の \(2\) 解を \(\alpha , \beta \ ( \alpha \lt \beta )\) とおけば \[ \alpha = \dfrac{2 ( t-1 ) -\sqrt{D}}{2} , \ \beta = \dfrac{2 ( t-1 ) +\sqrt{D}}{2} \] なので \[ \beta -\alpha = \dfrac{\sqrt{D}}{2} \] A , C はそれぞれ下, 上に凸の放物線なので \[\begin{align} S(t) & = \displaystyle\int _ {\alpha}^{\beta} ( [1] \text{の左辺} ) \, dx \\ & = \dfrac{2}{6} ( \beta -\alpha )^3 \\ & = \dfrac{1}{3} \left( \underline{-4t^2 +10t} _ {[2]} \right)^{\frac{3}{2}} \end{align}\]

2. 2*　\(D \leqq 0\) すなわち \(t \geqq \dfrac{5}{2}\) のとき
   A と C は領域を囲まないので \[ S(t) = 0 \]

以上より \[ S(t) = \underline{\left\{ \begin{array}{ll} \dfrac{1}{3} \left( -4t^2 +10t \right)^{\frac{3}{2}} & \left( \ 0 \lt t \lt \dfrac{5}{2} \ \text{のとき} \right) \\ 0 & \left( \ t \geqq \dfrac{5}{2} \ \text{のとき} \right) \end{array} \right.} \]

(3)

\(0 \lt t \lt \dfrac{5}{2}\) のときについて考えればよい.
下線部 [2] を \(f(t)\) とおけば \[ f(t) = -4 \left( t -\dfrac{5}{4} \right)^2 +\dfrac{25}{4} \] よって, 求める最大値は \[ \dfrac{1}{3} \{ f(4) \}^{\frac{3}{2}} = \dfrac{1}{3} \left( \dfrac{25}{4} \right)^{\frac{3}{2}} = \underline{\dfrac{125}{24}} \]