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【 解 答 】

(1)

原点 O を通る直線は, \(x = 0\) または \(y = kx\) （ \(k\) は実数）と表せる.

1. 1*　\(x = 0\) のとき, 点P \(( p , 0 )\) が \(f _ n\) によって移動する点は \[ \left( \begin{array}{cc} 1-n & 1 \\ -n( n+1 ) & n+2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} p \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} p( n-1 ) \\ -pn( n+1 ) \end{array} \right) \] この点が任意の \(p\) に対して \(x = 0\) 上にあることはないので不適.

2. 2*　\(y = kx\) のとき \[ \left( \begin{array}{cc} 1-n & 1 \\ -n( n+1 ) & n+2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} p \\ kp \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} p( 1-n+k ) \\ p \left\{ -n( n+1 ) +k( n+2 ) \right\} \end{array} \right) \] この点が \(y = kx\) 上にあるので \[ p \left\{ -n( n+1 ) +k( n+2 ) \right\} = k p( 1-n+k ) \] これが任意の \(p\) について成立するので, \[\begin{align} -n( n+1 ) +k( n+2 ) & = k ( 1-n+k ) \\ k^2 -( 2n+1 )k +n( n+1 ) & = 0 \\ ( k-n )( k-n-1 ) & = 0 \\ \text{∴} \quad k & = n , n+1 \end{align}\] したがって, \(y = nx\) と \(y = (n+1)x\) の \(2\) 本が条件を満たしている.

1* 2*より条件を満たす直線は \(2\) 本あり, その方程式は \[ \underline{y = nx , \ y = (n+1)x} \]

(2)

\(y = nx , \ y = (n+1)x\) はそれぞれ \(y=x^2\) と \(2\) つの交点 \(( 0 , 0 )\) と \(( n , n^2 )\) , \(( 0 , 0 )\) と \(( n+1 , (n+1)^2 )\) をもつ.

したがって \[\begin{align} S _ n & = \displaystyle\int _ 0^{n+1} \left\{ x^2 -(n+1)x \right\} \, dx -\displaystyle\int _ 0^n ( x^2 -nx ) \, dx \\ & = \dfrac{1}{6} (n+1)^3 -\dfrac{1}{6} n^3 \\ & = \underline{\dfrac{1}{6} ( 3n^2 +3n +1 )} \end{align}\]

(3)

\[ \dfrac{1}{S _ n -\dfrac{1}{6}}= \dfrac{2}{n^2 +n} = 2 \left( \dfrac{1}{n} -\dfrac{1}{n+1} \right) \] なので, 求める値は \[\begin{align} \textstyle\sum\limits _ {n=1}^{\infty} \dfrac{1}{S _ n -\frac{1}{6}} & = 2 \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n} \left( \dfrac{1}{k} -\dfrac{1}{k+1} \right) \\ & = 2 \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \left( 1 -\dfrac{1}{n+1} \right) \\ & = \underline{2} \end{align}\]

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【 解 答 】

(1)

\(g(x) = \cos t -x \sin 2t\) , \(G(x) = \displaystyle\int g(x) \, dx\) とおく. \[\begin{align} g(x) & = \cos t -2x \sin t \cos t = \cos t \left( 1 -2x \sin t \right) \\ G(x) & = \sin t +\dfrac{x}{2} \cos 2t +C \quad ( C \text{は積分定数} ) \end{align}\]

1. 1*　\(2x \leqq 1\) すなわち \(x \leqq \dfrac{1}{2}\) のとき
   \(0 \leqq t \leqq \dfrac{\pi}{2}\) において, \(g(t) \geqq 0\) なので \[\begin{align} f(x) & = G\left( \dfrac{\pi}{2} \right) -G(0) \\ & = \left( 1-\dfrac{x}{2} \right) -\dfrac{x}{2} \\ & = 1-x \geqq \dfrac{1}{2} \end{align}\]

2. 2*　\(2x \gt 1\) すなわち \(x \gt \dfrac{1}{2}\) のとき
   \(\sin \alpha = \dfrac{1}{2x} \ \left( 0 \leqq \alpha \leqq \dfrac{\pi}{2} \right) \quad ... [1]\) をみたす. \(\alpha\) をおくと, \(g(t)\) の符号は下表のようになる. \[ \begin{array}{c|ccccc} t & 0 & \cdots & \alpha & \cdots & \dfrac{\pi}{2} \\ \hline g(t) & & + & 0 & - & \end{array} \] したがって \[\begin{align} f(x) & = \left\{ G( \alpha ) -G(0) \right\} -\left\{ G \left( \dfrac{\pi}{2} \right) -G( \alpha ) \right\} \\ & = -\dfrac{x}{2} -\left( 1-\dfrac{x}{2} \right) +2 \left( \sin \alpha +\dfrac{x}{2} \cos 2\alpha \right) \\ & = -1 +2 \left\{ \dfrac{1}{2x} +\dfrac{x}{2} \left( 1 -2 \cdot \dfrac{1}{4x^2} \right) \right\} \quad ( \ \text{∵} \ [1] \ ) \\ & = x +\dfrac{1}{2x} -1 \geqq 2\sqrt{x \cdot \dfrac{1}{2x}} -1 \quad ( \ \text{∵} \ \text{ 相加相乗平均の関係} ) \\ & = \sqrt{2}-1 \lt \dfrac{1}{2} \end{align}\] 等号成立は, \(x = \dfrac{1}{2x}\) すなわち \(x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) のとき

1* 2*より, 求める最小値は \[ \underline{\sqrt{2}-1} \]

(2)

(1) の過程より \[\begin{align} \displaystyle\int _ 0^1 f(x) \, dx & = \displaystyle\int _ 0^{\frac{1}{2}} (1-x) \, dx +\displaystyle\int _ {\frac{1}{2}}^1 \left( x +\dfrac{1}{2x} -1 \right) \, dx \\ & = \left[ x -\dfrac{x^2}{2} \right] _ 0^{\frac{1}{2}} +\left[ \dfrac{x^2}{2} +\dfrac{\log x}{2} -x \right] _ {\frac{1}{2}}^1 \\ & = \left( \dfrac{1}{2} -\dfrac{1}{8} \right) -\dfrac{1}{2} -\left( \dfrac{1}{8} -\dfrac{\log 2}{2} -\dfrac{1}{2} \right) \\ & = \underline{\dfrac{1}{4} +\dfrac{\log 2}{2}} \end{align}\]

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【 解 答 】

X \(( 1 , t ) \ ( t \gt 0 )\) とおくと, Y \(( 1 , kt )\) .
また \[ \text{OX} : \ y = tx , \ \text{OY} : \ y = ktx \] 円 \(x^2+y^2 = 1\) と線分 OX の交点 P の座標を求めると \[\begin{align} x^2 & +(tx)^2 = 1 \\ \text{∴} \quad x & = \dfrac{1}{\sqrt{t^2+1}} \\ \text{∴} \quad y & = \dfrac{t}{\sqrt{t^2+1}} \end{align}\] なので \[ \text{P} \ \left( \dfrac{1}{\sqrt{t^2+1}} , \dfrac{t}{\sqrt{t^2+1}} \right) \] 同様にすれば, 円 \(x^2+y^2=1\) と線分 OY の交点は, \[ \text{Q} \ \left( \dfrac{1}{\sqrt{k^2t^2+1}} , \dfrac{kt}{\sqrt{k^2t^2+1}} \right) \] したがって \[\begin{align} \triangle \text{OPQ} & = \dfrac{1}{2} \left| \dfrac{1}{\sqrt{t^2+1}} \cdot \dfrac{kt}{\sqrt{k^2t^2+1}} -\dfrac{t}{\sqrt{t^2+1}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{k^2t^2+1}} \right| \\ & = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{(k-1)t}{\sqrt{t^2+1}\sqrt{k^2t^2+1}} \quad ( \ \text{∵} \ k \gt 1 ) \\ & = \dfrac{k-1}{2} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{t^2}(t^2+1)(k^2t^2+1)}} \\ & = \dfrac{k-1}{2} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{k^2+1+k^2t^2+\dfrac{1}{t^2}}} \\ & \leqq \dfrac{k-1}{2} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{k^2+1+2\sqrt{k^2t^2 \cdot \dfrac{1}{t^2}}}} \quad ( \ \text{∵} \ \text{相加相乗平均の関係} ) \\ & = \dfrac{k-1}{2} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{k^2+2k+1}} = \dfrac{k-1}{2(k+1)} \end{align}\] 等号成立は, \(k^2t^2 = \dfrac{1}{t^2}\) すなわち \(t=\dfrac{1}{\sqrt{k}}\) のときである.
よって, △OPQ の面積の最大値は \[ \underline{\dfrac{k-1}{2(k+1)}} \]

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【 解 答 】

(1)

図形 \(R\) は領域 \(0 \leqq x \leqq a\) にあり, 直線 \(x = k\) に含まれる部分の長さ（以後, 幅とよぶ）が \(f(k)\) であるとする.
このとき, 図形 \(R\) の \(y\) 軸を中心とした回転体の体積 \(V\) は \[ V = 2\pi \displaystyle\int _ 0^a x f(x) dx \]

以下では \(2\) つの補題 [A], [B] を示す.

• 補題 [A] ：
  \(2\) つの図形 \(R _ 1 , R _ 2\) はそれぞれ領域 \(0 \leqq x \leqq a , \ b \leqq x \leqq a+b\) にあり, 幅がそれぞれ \(f(x) , g(x)\) であるとする.
  このとき, \(f(x+b) = g(x)\) であれば, 図形 \(R _ 1 , R _ 2\) の \(y\) 軸を中心にした回転体の体積をそれぞれ \(V _ 1 , V _ 2\) とすれば \[ V _ 1 \lt V _ 2 \]

  1. [A] の証明：
     \[\begin{align} V _ 1 & = 2\pi \displaystyle\int _ 0^a x f(x) dx \\ V _ 2 & = 2\pi \displaystyle\int _ b^{a+b} x f(x+b) dx \end{align}\] ここで \(u = x-b\) とおけば \[\begin{gather} dx = du , \\ \begin{array}{c|ccc} x & b & \rightarrow & a+b \\ \hline u & 0 & \rightarrow & a \end{array} \end{gather}\] ゆえに \[\begin{align} V _ 2 & = 2\pi \displaystyle\int _ 0^a (u+b) f(u) \, du \\ & = V _ 1 +2b\pi \displaystyle\int _ 0^a f(u) \, du \gt V _ 1 \end{align}\]

• 補題 [B] ：
  図形 \(R\) は領域 \(0 \leqq x \leqq a\) にあり, 幅 \(f(x)\) が単調増加であるとする.
  このとき, 図形領域 \(R\) の \(y\) 軸, 直線 \(x = a\) を中心にした回転体の体積をそれぞれ \(V _ 1 , V _ 2\) とすれば \[ V _ 1 \gt V _ 2 \]

  1. [B] の証明： \[\begin{align} V _ 1 & = 2\pi \displaystyle\int _ 0^a x f(x) \, dx , \\ V _ 2 & = 2\pi \displaystyle\int _ 0^a x f(a-x) \, dx \end{align}\] なので \[\begin{align} \dfrac{V _ 1 -V _ 2}{2\pi} & = \displaystyle\int _ 0^a x \left\{ f(x) -f(a-x) \right\} \, dx \\ & = \displaystyle\int _ 0^{\frac{a}{2}} x \left\{ f(x) -f(a-x) \right\} \, dx \\ & \qquad +\underline{\displaystyle\int _ {\frac{a}{2}}^a x \left\{ f(x) -f(a-x) \right\} \, dx} _ {[1]} \end{align}\] 下線部 [1] について, \(u = a-x\) とおけば \[\begin{gather} dx = -du , \\ \begin{array}{c|ccc} x & \dfrac{a}{2} & \rightarrow & a \\ \hline u & \dfrac{a}{2} & \rightarrow & 0 \end{array} \end{gather}\] ゆえに \[\begin{align} [1] & = \displaystyle\int _ 0^{\frac{a}{2}} (a-u) \left\{ f(a-u) -f(u) \right\} \, du \\ & = \displaystyle\int _ 0^{\frac{a}{2}} (u-a) \left\{ f(u) -f(a-u) \right\} \, du \end{align}\] したがって \[ \dfrac{V _ 1 -V _ 2}{2\pi} = \displaystyle\int _ 0^{\frac{a}{2}} (a-2x) \left\{ f(a-x) -f(x) \right\} \, dx \] ここで, \(0 \leqq x \leqq \dfrac{a}{2}\) のとき, \(2x-a \geqq 0 \quad ... [1]\) .
     また \(f(x)\) は単調増加なので, \(f(a-x) -f(x) \geqq 0 \quad ... [2]\) .
     常に [1] [2] ともに等号成立することはないので \[\begin{align} \dfrac{V _ 1 -V _ 2}{2\pi} \gt 0 \\ \text{∴} \quad V _ 1 \gt V _ 2 \end{align}\]

ここから, 題意を示す.
対称性から, 軸の位置は \(D\) の中心 O を通る直線より左側のみを考えればよい.
もっとも左の \(1\) 頂点を通る直線を \(L\) , その他の直線を \(K\) とおき, それぞれを中心にした \(D\) の回転体の体積を \(V _ L , V _ K\) とおく.
\(D\) が \(K\) によって分けられる部分の左側を \(A\) , 右側を \(B\) とおき, 各部分の, \(L , K\) を中心にした回転体の体積をそれぞれ \(V _ {LA}\) と \(V _ {LB}\) , \(V _ {KA}\) と \(V _ {KB}\) とおく.

このとき \[\begin{align} V _ L & = V _ {LA} +V _ {LB} \\ V _ K & \lt V _ {KA} +V _ {KB} \quad ( \ \text{∵} \ \text{回転体どうしに重なりがある} ) \end{align}\] 補題 [A] より \[ V _ {LB} \gt V _ {KB} \] 部分 \(A\) は右にいくほど軸方向の幅が単調増加しているので, 補題 [B] より \[ V _ {LA} \gt V _ {KA} \] 以上より \[ V _ L = V _ {LA} +V _ {LB} \gt V _ {KA} +V _ {KB} \gt V _ K \] よって, 題意は示された.

(2)

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