\(p , q\) を \(2\) つの正の整数とする. 整数 \(a , b , c\) で条件 \[ -q \leqq b \leqq 0 \leqq a \leqq p , \quad b \leqq c \leqq a \] を満たすものを考え, このような \(a , b , c\) を \([ a , b ; c ]\) の形に並べたものを \(( p , q )\) パターンと呼ぶ. 各 \(( p , q )\) パターン \([ a , b ; c ]\) に対して \[ w \left( [ a , b ; c ] \right) = p -q -( a+b ) \] とおく.

1. (1)　\(( p , q )\) パターンのうち, \(w \left( [ a , b ; c ] \right) = -q\) となるものの個数を求めよ. また, \(w \left( [ a , b ; c ] \right) = p\) となる \(( p , q )\) パターンの個数を求めよ.

以下 \(p=q\) の場合を考える.

2. (2)　\(s\) を整数とする. \(( p , p )\) パターンで \(w \left( [ a , b ; c ] \right) = -p+s\) となるものの個数を求めよ.

3. (3)　\(( p , p )\) パターンの総数を求めよ.

1. (1)　\(x , y\) を実数とし, \(x \gt 0\) とする. \(t\) を変数とする \(2\) 次関数 \(f(t) = xt^2 +yt\) の \(0 \leqq t \leqq 1\) における最大値と最小値の差を求めよ.

2. (2)　次の条件を満たす点 \(( x , y )\) 全体からなる座標平面内の領域を \(S\) とする.
   「 \(x \gt 0\) かつ, 実数 \(z\) で \(0 \leqq t \leqq 1\) の範囲の全ての実数 \(t\) に対して, \[ 0 \leqq xt^2 +yt +z \leqq 1 \] 　を満たすようなものが存在する. 」
   \(S\) の概形を図示せよ.

3. (3)　次の条件を満たす点 \(( x , y , z )\) 全体からなる座標空間内の領域を \(V\) とする.
   「 \(0 \leqq x \leqq 1\) かつ, \(0 \leqq t \leqq 1\) の範囲の全ての実数 \(t\) に対して, \[ 0 \leqq x t^2 +yt +z \leqq 1 \] 　が成り立つ. 」
   \(V\) の体積を求めよ.