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【 解 答 】

(1)

\[ f(t) = xt^2 +yt = x \left( t -\dfrac{y}{2x} \right)^2 -\dfrac{y^2}{4x} \] \(0 \leqq t \leqq 1\) において最大値となりうるのは, 以下の \(2\) つ. \[ f(0) = 0 , \quad f(1) = x+y \] したがって最大値は, 大小を比較して

• \(x+y \geqq 0\) すなわち \(y \geqq -x\) （下図領域(A)）のとき, \(x+y\)

• \(x+y \lt 0\) すなわち \(y \lt -x\) （下図領域(B)）のとき, \(0\)

\(0 \leqq t \leqq 1\) において最小値となりうるのは, 以下の \(3\) つ. \[ f(0) = 0 , \quad f(1) = x+y , \quad f \left( -\dfrac{y}{2x} \right) = -\dfrac{y^2}{4x} \] したがって最小値は, \(f(t)\) の軸の位置に注意して

• \(-\dfrac{y}{2x} \lt 0\) すなわち \(y \gt 0\) （下図領域(ア)）のとき, \(0\)

• \(0 \leqq -\dfrac{y}{2x} \leqq 1\) すなわち \(-2x \leqq y \leqq 0\) （下図領域(イ)）のとき, \(-\dfrac{y^2}{4x}\)

• \(-\dfrac{y}{2x} \gt 1\) すなわち \(y \lt -2x\) （下図領域(ウ)）のとき, \(x+y\)

以上より, 最大値と最小値の差は \[ \underline{\left\{ \begin{array}{ll} x+y & ( \ y>0 \text{のとき}\ ) \\ x+y+\dfrac{y^2}{4x} & ( \ -x \leqq y \leqq 0 \text{のとき}\ ) \\ \dfrac{y^2}{4x} & ( \ -2x \leqq y \lt -x \text{のとき}\ ) \\ -( x+y ) & ( \ y \lt -2x \text{のとき}\ ) \end{array} \right.} \]

(2)

与えられた不等式を変形すると \[ -z \leqq f(t) \leqq 1-z \quad ... [1] \] \(0 \leqq t \leqq 1\) において常に [1] をみたす \(z\) が存在する条件は, \(f(t)\) の値域の幅, すなわち最大値と最小値の差が \(1\) 以下である条件である.
(1) の結果を用いて考える.

1. 1*　\(y \gt 0\) のとき \[\begin{align} 0 \leqq x+y \leqq 1 \\ \text{∴} \quad 0 \leqq y \leqq -x+1 \end{align}\]

2. 2*　\(-x \leqq y \leqq 0\) のとき \[\begin{align} 0 \leqq x+y+\dfrac{y^2}{4x} & \leqq 1 \\ 0 \leqq 4x^2 +4xy +y^2 & \leqq 4x \\ 0 \leqq ( 2x+y )^2 & \leqq 4x \\ 0 \leqq 2x+y & \leqq 2\sqrt{x} \quad ( \ \text{∵} \ 2x+y \gt 0 \ ) \\ \text{∴} \quad -2x \leqq y & \leqq -2x +2\sqrt{x} \end{align}\]

3. 3*　\(-2x \leqq y \lt -x\) のとき \[\begin{align} 0 \leqq \dfrac{y^2}{4x} & \leqq 1 \\ 0 \leqq y^2 & \leqq 4x \\ -y & \leqq 2\sqrt{x} \quad ( \ \text{∵} \ y \lt 0 \ ) \\ \text{∴} \quad -2 \sqrt{x} \leqq y & \lt -x \end{align}\]

4. 4*　\(y \lt -2x\) のとき \[\begin{align} 0 \leqq -( x+y ) \leqq 1 \\ \text{∴} \quad -x-1 \leqq y \leqq -2x \end{align}\]

1*～4* より \(S\) の概形は下図斜線部（ただし, 実線境界は含み, 点線境界と白点は含まない）.

(3)

\(g(t) = xt^2 +yt +z\) とおく.
\(x=k\) （ \(0 \leqq k \leqq 1\) ）と定数とみなし, 与えられた条件をみたす \(y\) , \(z\) の条件を求める.
\(g(t) = f(t) +z\) なので, (1) の結果を利用して, 場合分けして考える.

1. 1*　\(y \gt 0\) のとき
   最大値： \(y+z+k\) , 最小値： \(z\) なので \[\begin{align} 0 \leqq z , \quad y+z+k \leqq 1 \\ \text{∴} \quad 0 \leqq z \leqq -y+1-k \end{align}\]

2. 2*　\(-k \leqq y \leqq 0\) のとき
   最大値： \(y+z+k\) , 最小値： \(-\dfrac{y^2}{4k} +z\) なので \[\begin{align} 0 \leqq -\dfrac{y^2}{4k} +z , \quad y+z+k \leqq 1 \\ \text{∴} \quad \dfrac{y^2}{4k} \leqq z \leqq -y+1-k \end{align}\]

3. 3*　\(-2k \leqq y \leqq -k\) のとき
   最大値： \(z\) , 最小値： \(-\dfrac{y^2}{4k} +z\) なので \[\begin{align} 0 \leqq -\dfrac{y^2}{4k} +z , \quad z \leqq 1 \\ \text{∴} \quad \dfrac{y^2}{4k} \leqq z \leqq 1 \end{align}\]

4. 4*　\(y \lt -2k\) のとき
   最大値： \(z\) , 最小値： \(y+z+k\) なので \[\begin{align} 0 \leqq y+z+k , \quad z \leqq 1 \\ \text{∴} \quad -y-k \leqq z \leqq 1 \end{align}\]

1*～4* より条件をみたす領域は下図斜線部（境界は含む）である.

この面積を \(T _ k\) とおくと \[\begin{align} T _ k & = 1 \cdot 1 +\dfrac{1}{2} k^2 - \displaystyle\int _ 0^{2k} \dfrac{y^2}{4k} \, dy \\ & = 1 +\dfrac{k^2}{2} -\dfrac{1}{4k} \left[ \dfrac{y^3}{3} \right] _ 0^{2k} \\ & = 1 +\dfrac{k^2}{2} -\dfrac{2k^2}{3} = 1 +\dfrac{k^2}{6} \end{align}\] この領域は, 領域 \(V\) の平面 \(x=k\) における断面なので, 求める体積は \[\begin{align} \displaystyle\int _ 0^1 T _ k \, dk & = \left[ k +\dfrac{k^3}{18} \right] _ 0^1 \\ & = \underline{\dfrac{17}{18}} \end{align}\]

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