東大理系2010：第6問

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四面体 OABC において, \(4\) つの面はすべて合同であり, \(\text{OA} = 3\) , \(\text{OB} = \sqrt{7}\) , \(\text{OC} = 2\) であるとする. また \(3\) 点 O , A , B を含む平面を \(L\) とする.

  1. (1)　点 C から平面 \(L\) におろした垂線の足を H とおく. \(\overrightarrow{\text{OH}}\) を \(\overrightarrow{\text{OA}}\) と \(\overrightarrow{\text{OB}}\) を用いて表せ.

  2. (2)　\(0 \lt t \lt 1\) をみたす実数 \(t\) に対して, 線分 OA , OB の各々を \(t : (1-t)\) に内分する点をそれぞれ \(\text{P} {} _ t , \text{Q} {} _ t\) を通り, 平面 \(L\) に垂直な平面を \(M\) とするとき, 平面 \(M\) による四面体 OABC の切り口の面積 \(S(t)\) を求めよ.

  3. (3)　\(t\) が \(0 \lt t \lt 1\) の範囲を動くとき, \(S(t)\) の最大値を求めよ.

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横国大理系2011：第1問

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\(3\) 次関数 \(f(x) = x^3-3x^2-4x+k\) について, 次の問いに答えよ. ただし, \(k\) は定数とする.

  1. (1)　\(f(x)\) が極値をとるときの \(x\) を求めよ.

  2. (2)　方程式 \(f(x)=0\) が異なる \(3\) つの整数解をもつとき, \(k\) の値およびその整数解を求めよ.

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横国大理系2011：第2問

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次の問いに答えよ.

  1. (1)　\(0 \leqq x \leqq \pi\) において, \(\big| \cos x \big| = \sin x\) を満たす \(x\) を求め, \(0 \leqq x \leqq \pi\) において, \(\cos ( \cos x )\) , \(\cos ( \sin x )\) の大小を比較せよ.

  2. (2)　\(\alpha \geqq 0\) , \(\beta \geqq 0\) , \(\alpha +\beta \lt \dfrac{\pi}{2}\) のとき, \(\cos \alpha \gt \sin \beta\) となることを示し, \(0 \leqq x \leqq \pi\) において, \(\cos ( \cos x ) \gt \sin ( \sin x )\) を示せ.

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横国大理系2011：第3問

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\(1\) 辺の長さが \(1\) の正四面体 OABC において, \(3\) 辺 OA , OB , AC 上にそれぞれ点 D , E , F を \(\text{OD} = \dfrac{1}{2}\) , \(\text{OE} = t \ ( 0 \lt t \lt 1 )\) , \(\text{AF} = \dfrac{2}{3}\) となるようにとる. \(\overrightarrow{\text{OA}} = \overrightarrow{a}\) , \(\overrightarrow{\text{OB}} = \overrightarrow{b}\) , \(\overrightarrow{\text{OC}} = \overrightarrow{c}\) とおくとき, 次の問いに答えよ.

  1. (1)　\(\overrightarrow{\text{DE}} , \overrightarrow{\text{DF}}\) を \(\overrightarrow{a} , \overrightarrow{b} , \overrightarrow{c} , t\) を用いて表せ.

  2. (2)　\(\overrightarrow{\text{DE}} \perp \overrightarrow{\text{DF}}\) のとき, \(t\) の値を求めよ.

  3. (3)　\(3\) 点 D , E , F が定める平面が直線 BC と交わる点を G とするとき, 線分 BG の長さを \(t\) を用いて表せ.

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横国大理系2011：第4問

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\(xy\) 平面上の \(2\) 曲線 \(C _ 1 : \ y= \dfrac{\log x}{x}\) と \(C _ 2 : \ y = ax^2\) は点 P を共有し, P において共通の接線をもっている. ただし, \(a\) は定数とする. 次の問いに答えよ.

  1. (1)　関数 \(y = \dfrac{\log x}{x}\) の増減, 極値, グラフの凹凸, 変曲点を調べ, \(C _ 1\) の概形を描け. ただし, \(\displaystyle\lim _ {x \rightarrow \infty} \dfrac{\log x}{x}=0\) は証明なしに用いてよい.

  2. (2)　P の座標および \(a\) の値を求めよ.

  3. (3)　不定積分 \(\displaystyle\int \left( \dfrac{\log x}{x} \right)^2 \, dx\) を求めよ.

  4. (4)　\(C _ 1 , C _ 2\) および \(x\) 軸で囲まれる部分を, \(x\) 軸のまわりに \(1\) 回転してできる立体の体積 \(V\) を求めよ.

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横国大理系2011：第5問

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\(xy\) 平面上に直線 \(l\) がある. 行列 \(A = \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)\) の表す \(1\) 次変換 \(f\) は, 次の (i) , (ii) , (iii) を満たす.

  1. (i)　平面の点の \(f\) による像はすべて \(l\) 上にある.

  2. (ii)　\(f\) は \(l\) の点をすべて原点に移す.

  3. (iii)　点 P が円 \(x^2-2x+y^2-2y+1=0\) 上を動くとき, \(f\) による P の像の \(x\) 座標は最大値 \(1+\sqrt{5}\) , 最小値 \(1-\sqrt{5}\) をとる.

次の問いに答えよ.

  1. (1)　\(A\) を求めよ. また \(l\) の方程式を求めよ.

  2. (2)　(iii) で最大値 \(1+\sqrt{5}\) をとるときの P の座標を求めよ.

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筑波大理系2011：第1問

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\(O\) を原点とする \(xy\) 平面において, 直線 \(y=1\) の \(\big| x \big| \geqq 1\) を満たす部分を \(C\) とする.

  1. (1)　\(C\) 上に点 \(A ( t , 1 )\) をとるとき, 線分 \(OA\) の垂直二等分線の方程式を求めよ.

  2. (2)　点 \(A\) が \(C\) 全体を動くとき, 線分 \(OA\) の垂直二等分線が通過する範囲を求め, それを図示せよ.

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筑波大理系2011：第2問

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自然数 \(n\) に対し, 関数 \[ F _ n(x) = \displaystyle\int _ x^{2x} e^{-t^n} \, dt \quad ( x \geqq 0 ) \] を考える.

  1. (1)　関数 \(F _ n(x) \ ( x \geqq 0 )\) はただ一つの点で最大値をとることを示し, \(F _ n(x)\) が最大となるような \(x\) の値 \(a _ n\) を求めよ.

  2. (2)　(1) で求めた \(a _ n\) に対し, 極限値 \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \log a _ n\) を求めよ.

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