次の問いに答えよ.

1. (1)　定積分 \[ \displaystyle\int _ 0^{\log 3} \dfrac{dx}{e^x +5 e^{-x} -2} \] を求めよ.

2. (2)　\(x \gt 0\) のとき, 不等式 \[ \log x \geqq \dfrac{5x^2 -4x -1}{2x (x+2)} \] が成り立つことを示せ.

点 O を中心とする半径 \(1\) の円に内接する三角形 ABC があり, \[ 2 \overrightarrow{\text{OA}} +3 \overrightarrow{\text{OB}} +4 \overrightarrow{\text{OC}} = \overrightarrow{0} \] をみたしている. この円上に点 P があり, 線分 AB と線分 CP は直交している. 次の問いに答えよ.

1. (1)　内積 \(\overrightarrow{\text{OA}} \cdot \overrightarrow{\text{OB}}\) と \(\left| \overrightarrow{\text{AB}} \right|\) をそれぞれ求めよ.

2. (2)　線分 AB と線分 CP の交点を H とするとき, \(\text{AH} : \text{HB}\) を求めよ.

3. (3)　四角形 APBC の面積を求めよ.

実数 \(a\) に対し, \(xy\) 平面上の放物線 \(C : \ y = (x-a)^2 -2a^2 +1\) を考える. 次の問いに答えよ.

1. (1)　\(a\) がすべての実数を動くとき, \(C\) が通過する領域を求め, 図示せよ.

2. (2)　\(a\) が \(-1 \leqq a \leqq 1\) の範囲を動くとき, \(C\) が通過する領域を求め, 図示せよ.

自然数を \(2\) 個以上の連続する自然数の和で表すことを考える. たとえば, \(42\) は \(3 +4 + \cdots +9\) のように \(2\) 個以上の連続する自然数の和で表せる. 次の問いに答えよ.

1. (1)　\(2020\) を \(2\) 個以上の連続する自然数の和で表す表し方をすべて求めよ.

2. (2)　\(a\) を \(0\) 以上の整数とするとき, \(2^a\) は \(2\) 個以上の連続する自然数の和で表せないことを示せ.

3. (3)　\(a , b\) を自然数とするとき, \(2^a (2b+1)\) は \(2\) 個以上の連続する自然数の和で表せることを示せ.

\(1\) 個のさいころを \(3\) 回投げ, 出た目の順に \(a , b , c\) とする. 不等式 \[ \displaystyle\int _ 0^{\pi} ( \cos ax ) ( \cos bx ) ( \cos cx ) \, dx \gt 0 \] をみたす確率を求めよ.