\(p\) と \(q\) は正の整数とする. \(2\) 次方程式 \(x^2 -2px -q = 0\) の \(2\) つの実数解を \(\alpha , \beta\) とする. ただし, \(\alpha \gt \beta\) とする. 数列 \(\{ a _ n \}\) を \[ a _ n = \dfrac{1}{2} \left( {\alpha}^{n-1} +{\beta}^{n-1} \right) \quad ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \] によって定める. ただし, \({\alpha}^0 = 1\) , \({\beta}^0 = 1\) と定める.

1. (1)　すべての自然数 \(n\) に対して, \(a _ {n+2} = 2p a _ {n+1} +q a _ n\) であることを示せ.

2. (2)　すべての自然数 \(n\) に対して, \(a _ n\) は整数であることを示せ.

3. (3)　自然数 \(n\) に対し, \(\dfrac{{\alpha}^{n-1}}{2}\) 以下の最大の整数を \(b _ n\) とする. \(p\) と \(q\) が \(q \lt 2p+1\) を満たすとき, \(b _ n\) を \(a _ n\) を用いて表せ.

\(f(x) = \log \left( e^x +e^{-x} \right)\) とおく. 曲線 \(y = f(x)\) の点 \(( t , f(t) )\) における接線を \(\ell\) とする. 直線 \(\ell\) と \(y\) 軸の交点の \(y\) 座標を \(b(t)\) とおく.

1. (1)　次の等式を示せ. \[ b(t) = \dfrac{2t e^{-t}}{e^t +e^{-t}} +\log \left( 1 +e^{-2t} \right) \]

2. (2)　\(x \geqq 0\) のとき, \(\log (1+x) \leqq x\) であることを示せ.

3. (3)　\(t \geqq 0\) のとき, \[ b(t) \leqq \dfrac{2}{e^t +e^{-t}} +e^{-2t} \] であることを示せ.

4. (4)　\(b(0) = \displaystyle\lim _ {x \rightarrow \infty} \displaystyle\int _ 0^x \dfrac{4t}{\left( e^t +e^{-t} \right)^2} \, dt\) であることを示せ.

\(f(x) , g(x) , h(x)\) を \[\begin{align} f(x) & = \dfrac{1}{2} ( \cos x -\sin x ) \\ g(x) & = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \sin \left( x +\dfrac{\pi}{4} \right) \\ h(x) & = \sin x \\ \end{align}\] とおく. \(3\) つの曲線 \(y = f(x)\) , \(y = g(x)\) , \(y = h(x)\) の \(0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2}\) を満たす部分を, それぞれ \(C _ 1 , C _ 2 , C _ 3\) とする.

1. (1)　\(C _ 2\) と \(C _ 3\) の交点の座標を求めよ.

2. (2)　\(C _ 1\) と \(C _ 3\) の交点の \(x\) 座標を \(\alpha\) とする. \(\sin \alpha , \cos \alpha\) の値を求めよ.

3. (3)　\(C _ 1 , C _ 2 , C _ 3\) によって囲まれる図形の面積を求めよ.

\(\alpha\) を実数でない複素数とし, \(\beta\) を正の実数とする. 以下の問いに答えよ. ただし, 複素数 \(w\) に対してその共役複素数を \(\overline{w}\) で表す.

1. (1)　複素数平面上で, 関係式 \(\alpha \overline{z} +\overline{\alpha} z = |z|^2\) を満たす複素数 \(z\) の描く図形を \(C\) とする. このとき, \(C\) は原点を通る円であることを示せ.

2. (2)　複素数平面上で, \(( z -\alpha ) ( \beta -\overline{\alpha} )\) が純虚数となる複素数 \(z\) の描く図形を \(L\) とする. \(L\) は (1) で定めた \(C\) と \(2\) つの共有点をもつことを示せ. また, その \(2\) 点を P , Q とするとき, 線分 PQ の長さを \(\alpha\) と \(\overline{\alpha}\) を用いて表せ.

3. (3)　\(\beta\) の表す複素数平面上の点を R とする. (2) で定めた点 P , Q と点 R を頂点とする三角形が正三角形であるとき, \(\beta\) を \(\alpha\) と \(\overline{\alpha}\) を用いて表せ.

\(\alpha , \beta\) は異なる \(2\) つの実数とする. 座標平面において \(2\) 点 \(( \alpha , 1 )\) , \(( \beta , 1 )\) をそれぞれ点 \(( {\alpha}^2 , \alpha )\) , \(( {\beta}^2 , \beta )\) に移す \(1\) 次変換を表す行列を \(A\) とする. 自然数 \(n\) に対し, 点 \(\text{P} {} _ n \ ( x _ n , y _ n )\) を \[ \left( \begin{array}{c} x _ 1 \\ y _ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) , \ \left( \begin{array}{c} x _ {n+1} \\ y _ {n+1} \end{array} \right) = A \left( \begin{array}{c} x _ n \\ y _ n \end{array} \right) \quad ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \] によって定める.

1. (1)　\(Q = \left( \begin{array}{cc} \alpha & \beta \\ 1 & 1 \end{array} \right)\) とおくと, \(AQ = Q \left( \begin{array}{cc} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{array} \right)\) となることを示せ.

2. (2)　数列 \(\{ x _ n \} , \{ y _ n \}\) の一般項を求めよ.

3. (3)　点 \(\text{P} {} _ 2 , \text{P} {} _ 3 , \text{P} {} _ 4 , \cdots\) がすべて直線 \(y = \dfrac{1}{2} x\) 上にあるような \(\alpha , \beta\) を \(1\) 組求め, そのときの行列 \(A\) を求めよ.