次の問いに答えよ.

1. (1)　定積分 \(\displaystyle\int _ 0^{\sqrt{\frac{\pi}{2}}} x^3 \cos \left( x^2 \right) \, dx\) を求めよ.

2. (2)　\(0 \lt x \lt 1\) のとき, 不等式 \[ \left( \dfrac{x+1}{2} \right)^{x+1} \lt x^x \] が成り立つことを示せ.

\(r\) を \(0 \lt r \lt 1\) をみたす定数とする. 次の問いに答えよ.

1. (1)　数列 \(\{ a _ n \}\) を \(a _ n = \left[ \dfrac{n}{3} \right]\) で定める. ただし, 実数 \(x\) に対して, \([x]\) は \(\ell \leqq x \lt \ell +1\) をみたす整数 \(\ell\) を表す. このとき \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{3n} (-1)^{k-1} r^{a _ k} \] を求めよ.

2. (2)　数列 \(\{ b _ n \}\) を \[\begin{align} n \ \text{が奇数のとき} \quad & b _ n = n \\ n \ \text{が偶数のとき} \quad & b _ n = 2n \end{align}\] で定める. このとき \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \dfrac{1}{n} \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{2n} (-1)^{k-1} r^{\frac{b _ k}{n}} \] を求めよ.

O を原点とする座標空間に, \(4\) 点 \[ \text{A} \ ( -2 , 1 , 3 ) , \ \text{B} \ ( s , 3 , -1 ) , \ \text{C} \ ( 1 , 3 , 4 ) , \ \text{D} \ ( t , 2t , 2t ) \] がある. ただし, \(s , t\) は実数で \(t \neq 0\) である. A を通り \(\overrightarrow{\text{OC}}\) に平行な直線と, B を通り \(\overrightarrow{\text{OD}}\) に平行な直線が点 P で交わるとする. 次の問いに答えよ.

1. (1)　\(s\) の値および P の座標を求めよ.

　以下では, \(\triangle \text{PAB} \sim \triangle \text{OCD}\) を仮定する.

2. (2)　\(t\) の値を求めよ.

3. (3)　D から平面 PAB に下ろした垂線を DH とするとき, H の座標を求めよ.

平面上に半径 \(1\) と半径 \(2\) の同心円 \(C _ 1\) と \(C _ 2\) がある. 自然数 \(n\) に対して, \(C _ 2\) の周を \(3n\) 等分する \(3n\) 個の点がある. この \(3n\) 個の点の中から異なる \(3\) 点を選ぶとき, 次の（＊）をみたす選び方の総数を \(a _ k \ ( k = 0, 1, 2, 3 )\) とする.

1. （＊）選んだ \(3\) 点を頂点とする三角形の辺のうち, ちょうど \(k\) 個が \(C _ 1\) の周と共有点をもつ.

次の問いに答えよ.

1. (1)　\(n = 2\) のとき, \(a _ 0 , a _ 1 , a _ 2 , a _ 3\) を求めよ.

2. (2)　\(n \geqq 2\) のとき, \(a _ 0 , a _ 1 , a _ 2 , a _ 3\) を \(n\) の式で表せ.

\(xy\) 平面上に曲線 \(C : \ y = x^2\) がある. \(C\) 上の \(2\) 点 P , Q が \(\text{PQ} = 2\) をみたしながら動くとき, PQ の中点の軌跡を \(D\) とする. 次の問いに答えよ.

1. (1)　\(D\) の方程式を求めよ.

2. (2)　\(C , D\) , \(y\) 軸および直線 \(x = \dfrac{1}{2}\) で囲まれた部分を \(x\) 軸のまわりに \(1\) 回転させてできる立体の体積を求めよ.