\(1\) 辺の長さが \(1\) の正方形を底面とする四角柱 OABC-DEFG を考える. \(3\) 点 P , Q , R を, それぞれ辺 AE , 辺 BF , 辺 CG 上に, \(4\) 点 O , P , Q , R が同一平面上にあるようにとる. 四角形 OPQR の面積を \(S\) とおく. また, \(\angle \text{AOP}\) を \(\alpha\) , \(\angle \text{COR}\) を \(\beta\) とおく.

1. (1)　\(S\) を \(\tan \alpha\) と \(\tan \beta\) を用いて表せ.

2. (2)　\(\alpha +\beta = \dfrac{\pi}{4}\) , \(S = \dfrac{7}{6}\) であるとき, \(\tan \alpha +\tan \beta\) の値を求めよ. さらに, \(\alpha \leqq \beta\) のとき, \(\tan \alpha\) の値を求めよ.

\(a\) を自然数（すなわち \(1\) 以上の整数）の定数とする. 白球と赤球があわせて \(1\) 個以上入っている袋 U に対して, 次の操作 (＊) を考える.

1. (＊)　袋 U から球を \(1\) 個取り出し,

   1. (i)　取り出した球が白球のときは, 袋 U の中身が白球 \(a\) 個, 赤球 \(1\) 個となるようにする.

   2. (ii)　取り出した球が赤球のときは, その球を袋 U へ戻すことなく, 袋Uの中身はそのままにする.

はじめに袋 U の中に, 白球が \(a+2\) 個, 赤球が \(1\) 個入っているとする. この袋 U に対して操作 (＊) を繰り返し行う. たとえば, \(1\) 回目の操作で白球が出たとすると, 袋 U の中身は白球 \(a\) 個, 赤球 \(1\) 個となり, さらに \(2\) 回目の操作で赤球が出たとすると, 袋 U の中身は白球 \(a\) 個のみとなる. \(n\) 回目に取り出した球が赤球である確率を \(p _ n\) とする. ただし, 袋 U の中の個々の球の取り出される確率は等しいものとする.

1. (1)　\(p _ 1\) , \(p _ 2\) を求めよ.

2. (2)　\(n \geqq 3\) に対して \(p _ n\) を求めよ.

3. (3)　\(\displaystyle\lim _ {m \rightarrow \infty} \dfrac{1}{m} \textstyle\sum\limits _ {n=1}^m p _ n\) を求めよ.