複素数 \(z = 1+2 \sqrt{6} i\) と自然数 \(n = 1, 2, 3, \cdots\) について, 複素数 \(z^n\) を実数 \(a _ n , b _ n\) を用いて \[ z^n = a _ n +b _ n i \] と表す. 次の問に答えよ.
(1) \({a _ n}^2 +{b _ n}^2 = 5^{2n} \ ( n = 1, 2, 3, \cdots )\) であることを示せ.
(2) すべての \(n\) について \(a _ {n+2} = pa _ {n+1} +qa _ {n}\) が成り立つ定数 \(p , q\) を求めよ.
(3) どんな \(n\) についても \(a _ n\) は \(5\) の整数倍ではないことを示せ.
(4) \(z^n \ ( n = 1, 2, 3, \cdots )\) は実数でないことを示せ.
\(f(x) = \dfrac{1}{2} e^{2x} +2e^{x} +x\) とする. 次の問に答えよ.
(1) 実数 \(t\) に対して \(g(x) = tx -f(x)\) とおく. \(x\) が実数全体を動くとき, \(g(x)\) が最大値をもつような \(t\) の範囲を求めよ. また \(t\) がその範囲にあるとき, \(g(x)\) の最大値とそのときの \(x\) の値を求めよ.
(2) (1) で求めた最大値を \(m(t)\) とする. \(a\) を定数とし, \(t\) の関数 \(h(t) = at -m(t)\) を考える. \(t\) が (1) で求めた範囲を動くとき, \(h(t)\) の最大値を求めよ.
半径 \(1\) の半円を底面とし, 高さが \(1\) の半円柱に含まれる立体 \(R\) がある. その高さ \(x \ ( 0 \leqq x \leqq 1 )\) での断面が, 次の図のように \(2\) つの直角三角形を合わせた形になっている. 次の問に答えよ.
(1) 高さ \(x\) での \(R\) の断面積 \(S(x)\) を求めよ.
(2) \(R\) の体積を求めよ. 必要ならば, 積分する際に \(x = \sin t\) と置き換えよ.
空間内に平面 \(P\) がある. 空間内の図形 \(A\) に対し, \(A\) の各点から \(P\) に下ろした垂線と \(P\) との交点の全体を, \(A\) の \(P\) への正射影とよぶ. 次の問に答えよ.
(1) 平面 \(Q\) が平面 \(P\) と角 \(\theta \ ( 0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{2} )\) で交わっているとする. すなわち, \(P\) と \(Q\) の交線に垂直な平面で \(P , Q\) を切ってできる \(2\) 直線のなす角が \(\theta\) であるとする. \(Q\) 上の長さ \(1\) の線分の \(P\) への正射影の長さの最大値と最小値を求めよ.
(2) (1) の \(Q\) を考える. \(Q\) 上の \(1\) 辺の長さが \(1\) である正三角形の \(P\) への正射影の面積を求めよ.
(3) \(1\) 辺の長さが \(1\) である正四面体 \(T\) の \(P\) への正射影 \(T'\) はどんな形か. また, \(T'\) の面積の最大値を求めよ.
\(f(x) , g(t)\) を \[\begin{align} f(x) & = x^3-x^2-2x+1 \\ g(t) & = \cos 3t -\cos 2t +\cos t \end{align}\] とおく.
(1) \(2 g(t) -1 = f( 2 \cos t )\) が成り立つことを示せ.
(2) \(\theta = \dfrac{\pi}{7}\) のとき, \(2 g( \theta ) \cos \theta = 1 +\cos \theta -2 g( \theta )\) が成り立つことを示せ.
(3) \(2 \cos \dfrac{\pi}{7}\) は \(3\) 次方程式 \(f(x) = 0\) の解であることを示せ.
\(n\) は自然数とする.
(1) \(1 \leqq k \leqq n\) を満たす自然数 \(k\) に対して \[ \displaystyle\int _ {\frac{k-1}{2n} \pi}^{\frac{k}{2n} \pi} \sin 2nt \cos t \, dt = (-1)^{k+1} \dfrac{2n}{4n^2-1} \left( \cos \dfrac{k}{2n} \pi +\cos \dfrac{k-1}{2n} \pi \right) \] が成り立つことを示せ.
(2) 媒介変数 \(t\) によって \[ x = \sin t , \ y = \sin 2nt \ （ 0 \leqq t \leqq \pi ） \] と表される曲線 \(C _ n\) で囲まれた部分の面積 \(S _ n\) を求めよ. ただし必要なら \[ \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n-1} \cos \dfrac{k}{2n} \pi = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{\tan \frac{\pi}{4n}} -1 \right) \quad ( n \geqq 2 ) \] を用いてもよい.
(3) 極限値 \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} S _ n\) を求めよ.
\(xyz\) 空間において, 点 \(A (1,0,0)\) , \(B (0,1,0)\) , \(C (0,0,1)\) を通る平面上にあり, 正三角形 \(ABC\) に内接する円板 \(D\) とする. 円板 \(D\) の中心を \(P\) , 円板 \(D\) と辺 \(AB\) の接点を \(Q\) とする.
(1) 点 \(P\) と点 \(Q\) の座標を求めよ.
(2) 円板 \(D\) が平面 \(z = t\) と共有点をもつ \(t\) の範囲を求めよ.
(3) 円板 \(D\) と平面 \(z = t\) の共通部分が線分であるとき, その線分の長さを \(t\) を用いて表せ.
(4) 円板 \(D\) を \(z\) 軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ.
