\(k\) を正の整数とする. \(5n^2-2kn+1 \lt 0\) をみたす整数 \(n\) が, ちょうど \(1\) 個であるような \(k\) をすべて求めよ.

\(3\) 次方程式 \(x^3+ax^2+bx+c = 0\) は異なる \(3\) つの解 \(p , q , r\) をもつ. さらに \(2p^2-1 , 2q-1 , 2r-1\) も同じ方程式の異なる \(3\) つの解である. \(a , b , c , p , q , r\) の組をすべて求めよ.

\(a\) を正の実数とする. 点 \((x,y)\) が, 不等式 \(x^2 \leqq y \leqq x\) の定める領域を動くとき, 常に \(\dfrac{1}{2} \leqq (x-a)^2+y \leqq 2\) となる. \(a\) の範囲を求めよ.

解答

\(x^2 \leqq y \leqq x\) ... [1] が示す領域 \(D\) は, 下図斜線部.

\(\dfrac{1}{2} \leqq (x-a)^2+y \leqq 2\) ... [2] を変形すると \[ -(x-a)^2 +\dfrac{1}{2} \leqq y \leqq -(x-a)^2 +2 \] ゆえに, [2] が示す領域 \(C\) は \(2\) つの放物線に挟まれた下図斜線部.

以上より, \(D\) が \(C\) が含まれるような, \(a\) の範囲を求めればよい.
\(a\) すなわち \(C\) を作る \(2\) つの放物線を動かすとき, \(D\) を含むかどうかの境界となるのは, 以下の \(2\) つの場合が考えられる.

1. 1*　下の放物線が, \(0 \leqq x \leqq 1\) で \(y=x^2\) と接するとき.

   

2. 2*　上の放物線の \(x \leqq a\) の部分が, 原点を通るとき.

   

それぞれの場合の \(a\) の値を求める.

1. 1*について
   \[\begin{align} -(x-a)^2+\dfrac{1}{2} & =x^2 \\ 4x^2 -4ax +2a^2 -1 & = 0 \end{align}\] この判別式 \(E\) について \[\begin{align} E = (2a)^2 -4 \left( 2a^2 -1 \right) & = 0 \\ 4a^2 -4 & = 0 \\ \text{∴} \quad a = 1 \end{align}\]

2. 2*について
   \[\begin{align} 0 = -(0-a)^2 & +2 \\ \text{∴} \quad a & = \sqrt{2} \end{align}\]

よって, 求める \(a\) の範囲は \[ \underline{1 \leqq a \leqq \sqrt{2}} \]

正四面体 OABC の \(1\) 辺の長さが \(1\) とする. 辺 OA を \(2:1\) に内分する点 P , 辺 OB を \(1 : 2\) に内分する点を Q とし, \(0 \lt t \lt 1\) をみたす \(t\) に対して, 辺 OC を \(t : 1-t\) に内分する点を R とする.

1. (1)　PQ の長さを求めよ.

2. (2)　△PQR の面積が最小になるときの \(t\) の値を求めよ.

\(n\) を \(3\) 以上の整数とする. \(2n\) 枚のカードがあり, そのうち赤いカードの枚数は \(6\) , 白いカードの枚数は \(2n-6\) である. これら \(2n\) 枚のカードを, 箱 A と箱 B に \(n\) 枚ずつ無作為に入れる. \(2\) つの箱の少なくとも一方に赤いカードがちょうど \(k\) 枚入っている確率を \(p _ k\) とする.

1. (1)　\(p _ 2\) を \(n\) の式で表せ. さらに, \(p _ 2\) を最大にする \(n\) をすべて求めよ.

2. (2)　\(p _ 1 +p _ 2 \lt p _ 0 +p _ 3\) をみたす \(n\) をすべて求めよ.