実数 \(p , q , r\) に対して, \(3\) 次方程式 \(f(x)\) を \(f(x) = x^3 +px^2 +qx +r\) と定める. 実数 \(a , c\) および \(0\) でない実数 \(b\) に対して, \(a +bi\) と \(c\) はいずれも方程式 \(f(x) = 0\) の解であるとする. ただし \(i\) は虚数単位を表す.

1. (1)　\(y = f(x)\) のグラフにおいて, 点 \(\left( a , f(a) \right)\) における接線の傾きを \(s(a)\) とし, 点 \(\left( c , f(c) \right)\) における接線の傾きを \(s(c)\) とする. \(a \neq c\) のとき, \(s(a)\) と \(s(c)\) の大小を比較せよ.

2. (2)　さらに, \(a , c\) は整数であり, \(b\) は \(0\) でない整数であるとする. 次を証明せよ.

   1. (i)　\(p , q , r\) はすべて整数である.

   2. (ii)　\(p\) が \(2\) の倍数であり, \(q\) が \(4\) の倍数であるならば, \(a , b , c\) はすべて \(2\) の倍数である.

\(a\) を実数とする. 傾きが \(m\) である \(2\) つの直線が, 曲線 \(y = x^3 -3ax^2\) とそれぞれ点 A , 点 B で接している.

1. (1)　線分 AB の中点を C とする. C は曲線 \(y = x^3 -3ax^2\) 上にあることを示せ.

2. (2)　直線 AB の方程式が \(y = -x-1\) であるとき, \(a , m\) の値を求めよ.

原点を O とする \(xyz\) 空間内で, \(x\) 軸上の点 A , \(xy\) 平面上の点 B , \(z\) 軸上の点 C を, 次をみたすように定める. \[ \angle \text{OAC} = \angle \text{OBC} = \theta , \ \angle \text{AOB} = 2 \theta , \ \text{OC} = 3 \] ただし, A の \(x\) 座標, B の \(y\) 座標, C の \(z\) 座標はいずれも正である. さらに △ABC 内の点のうち, O からの距離が最小の点を H とする. また, \(t = \tan \theta\) とおく.

1. (1)　線分 OH の長さを \(t\) の式で表せ.

2. (2)　H の \(z\) 座標を \(t\) の式で表せ.

\(0\) 以上の整数 \(a _ 1 , a _ 2\) があたえられたとき, 数列 \(\left\{ a _ n \right\}\) を \[ a _ {n+2} = a _ {n+1} + 6a _ n \] により定める.

1. (1)　\(a _ 1 = 1\) , \(a _ 2 = 2\) のとき, \(a _ {2010}\) を \(10\) で割った余りを求めよ.

2. (2)　\(a _ 2 = 3a _ 1\) のとき, \(a _ {n+4} - a _ n\) は \(10\) の倍数であることを示せ.

\(n\) を \(3\) 以上の自然数とする. サイコロを \(n\) 回投げ, 出た目の数をそれぞれ順に \(X _ 1 , X _ 2 , \cdots X _ n\) とする. \(i = 2 , 3 , \cdots n\) に対して \(X _ i = X _ {i-1}\) となる事象を \(A _ i\) とする.

1. (1)　\(A _ 2 , A _ 3 , \cdots , A _ n\) のうち少なくとも \(1\) つが起こる確率 \(p _ n\) を求めよ.

2. (2)　\(A _ 2 , A _ 3 , \cdots , A _ n\) のうち少なくとも \(2\) つが起こる確率 \(q _ n\) を求めよ.