(1) 自然数 \(x , y\) は, \(1 \lt x \lt y\) および \(\left( 1 +\dfrac{1}{x} \right) \left( 1 +\dfrac{1}{y} \right) = \dfrac{5}{3}\) をみたす. \(x , y\) の組をすべて求めよ.
(2) 自然数 \(x , y , z\) は, \(1 \lt x \lt y \lt z\) および \(\left( 1 +\dfrac{1}{x} \right) \left( 1 +\dfrac{1}{y} \right) \left( 1 +\dfrac{1}{z} \right) = \dfrac{12}{5}\) をみたす. \(x , y , z\) の組をすべて求めよ.
点 O を中心とする半径 \(r\) の円周上に, \(2\) 点 A , B を \(\angle \text{AOB} \lt \dfrac{\pi}{2}\) となるようにとり \(\theta = \angle \text{AOB}\) とおく. この円周上に点 C を, 線分 OC が線分 AB と交わるようにとり, 線分 AB 上に点 D をとる. また, 点 P は線分 OA 上を, 点 Q は線分 OB 上を, それぞれ動く.
(1) \(\text{CP} +\text{PQ} +\text{QC}\) の最小値を \(r\) と \(\theta\) で表せ.
(2) \(a = \text{OD}\) とおく. \(\text{DP} +\text{PQ} +\text{QD}\) の最小値を \(a\) と \(\theta\) で表せ.
(3) さらに, 点 D が線分 AB 上を動くとき, \(\text{DP} +\text{PQ} +\text{QD}\) の最小値を \(r\) と \(\theta\) で表せ.
\(xy\) 平面上に放物線 \(C : \ y = -3x^2 +3\) と \(2\) 点 A \(( 1 , 0 )\) , P \(( 0 , 3p )\) がある. 線分 AP と \(C\) は, A とは異なる点 Q を共有している.
(1) 定数 \(p\) の存在する範囲を求めよ.
(2) \(\text{S} _ 1\) を, \(C\) と線分 AQ で囲まれた領域とし, \(\text{S} _ 2\) を, \(C\) , 線分 QP , および \(y\) 軸で囲まれた領域とする. \(\text{S} _ 1\) と \(\text{S} _ 2\) の面積の和が最小になる \(p\) の値を求めよ.
\(a , b , c\) を正の定数とする. 空間内に \(3\) 点 A \(( a , 0 , 0 )\) , B \(( 0 , b , 0 )\) , C \(( 0 , 0 , c )\) がある.
(1) 辺 AB を底辺とするとき, △ABC の高さを \(a , b , c\) で表せ.
(2) △ABC , △OAB , △OBC , △OCA の面積をそれぞれ \(S , S _ 1 , S _ 2 , S _ 3\) とする. ただし, O は原点である. このとき, 不等式 \(\sqrt{3} S \geqq S _ 1 +S _ 2 +S _ 3\) が成り立つことを示せ.
(3) (2) の不等式において等号が成り立つための条件を求めよ.
A と B の \(2\) 人が, \(1\) 個のサイコロを次の手順により投げ合う.
\(1\) 回目は A が投げる.
\(1, 2, 3\) の目が出たら, 次の回には同じ人が投げる.
\(4, 5\) の目が出たら, 次の回には別の人が投げる.
\(6\) の目が出たら, 投げた人を勝ちとしそれ以降は投げない.
(1) \(n\) 回目に A がサイコロを投げる確率 \(a _ n\) を求めよ.
(2) ちょうど \(n\) 回目のサイコロ投げで A が勝つ確率 \(p _ n\) を求めよ.
(3) \(n\) 回以内のサイコロ投げで A が勝つ確率 \(q _ n\) を求めよ.