\(3p^3-p^2q-pq^2+3q^3 = 2013\) を満たす正の整数 \(p , q\) の組をすべて求めよ.

平面上の \(4\) 点 O , A , B , C が \[ \text{OA} = 4 , \ \text{OB} = 3 , \ \text{OC} = 2 , \ \overrightarrow{\text{OB}} \cdot \overrightarrow{\text{OC}} = 3 \] を満たすとき, △ABC の面積の最大値を求めよ.

原点を O とする \(xy\) 平面上に, 放物線 \(C\) ： \(y = 1-x^2\) がある. \(C\) 上に \(2\) 点 P \(( p , 1-p^2 )\) , Q \(( q , 1-q^2 )\) を \(p \lt q\) となるようにとる.

1. (1)　\(2\) つの線分 OP , OQ と放物線 \(C\) で囲まれた部分の面積 \(S\) を, \(p\) と \(q\) の式で表せ.

2. (2)　\(q = p+1\) であるとき \(S\) の最小値を求めよ.

3. (3)　\(pq = -1\) であるとき \(S\) の最小値を求めよ.

\(t\) を正の定数とする. 原点を O とする空間内に, \(2\) 点 A \(( 2t , 2t , 0 )\) , B \(( 0 , 0 , t )\) がある. また動点 P は \[ \overrightarrow{\text{OP}} \cdot \overrightarrow{\text{AP}} +\overrightarrow{\text{OP}} \cdot \overrightarrow{\text{BP}} +\overrightarrow{\text{AP}} \cdot \overrightarrow{\text{BP}} = 3 \] を満たすように動く. OP の最大値が \(3\) となるような \(t\) の値を求めよ.

サイコロを \(n\) 回投げ, \(k\) 回目に出た目を \(a _ k\) とする. また, \(s _ n\) を \(s _ n = \sum\limits _ {k=1}^{n} 10^{n-k} a _ k\) で定める.

1. (1)　\(s _ n\) が \(4\) で割り切れる確率を求めよ.

2. (2)　\(s _ n\) が \(6\) で割り切れる確率を求めよ.

3. (3)　\(s _ n\) が \(7\) で割り切れる確率を求めよ.