\(n\) を \(2\) 以上の整数とする. \(n\) 以下の正の整数のうち, \(n\) との最大公約数が \(1\) となるものの個数を \(E(n)\) で表す. たとえば \[ E(2) = 1 , \ E(3) = 2 , \ E(4) = 2 , \ \cdots , \quad E(10) = 4 , \ \cdots \] である.
(1) \(E(1024)\) を求めよ.
(2) \(E(2015)\) を求めよ.
(3) \(m\) を正の整数とし, \(p\) と \(q\) を異なる素数とする. \(n = p^m q^m\) のとき \(\dfrac{E(n)}{n} \geqq \dfrac{1}{3}\) が成り立つことを示せ.
座標平面上の原点を O とする. 点 A \(( a , 0 )\) , 点 B \(( 0 , b )\) および点 C が \[ \text{OC} = 1 , \quad \text{AB} = \text{BC} = \text{CA} \] を満たしながら動く.
(1) \(s = a^2 +b^2\) , \(t = ab\) とする. \(s\) と \(t\) の関係を表す等式を求めよ.
(2) \(\triangle \text{ABC}\) の面積のとりうる値の範囲を求めよ.
\(n\) を \(4\) 以上の整数とする. 正 \(n\) 角形の \(2\) つの頂点を無作為に選び, それらを通る直線を \(l\) とする. さらに, 残りの \(n-2\) 個の頂点から \(2\) つの頂点を無作為に選び, それらを通る直線を \(m\) とする. 直線 \(l\) と \(m\) が平行になる確率を求めよ.
\(xyz\) 空間において, 原点を中心とする \(xy\) 平面上の半径 \(1\) の円周上を点 P が動き, 点 \(( 0 , 0 , \sqrt{3} )\) を中心とする \(xz\) 平面上の半径 \(1\) の円周上を点 Q が動く.
(1) 線分 PQ の長さの最小値と, そのときの点 P , Q の座標を求めよ.
(2) 線分 PQ の長さの最大値と, そのときの点 P , Q の座標を求めよ.
数列 \(\{ a _ k \}\) を \(a _ k = k +\cos \left( \dfrac{k \pi}{6} \right)\) で定める. \(n\) を正の整数とする.
(1) \(\textstyle\sum\limits _ {k=1}^{12n} a _ k\) を求めよ.
(2) \(\textstyle\sum\limits _ {k=1}^{12n} {a _ k}^2\) を求めよ.
\(a , b , c\) は異なる \(3\) つの正の整数とする. 次のデータは \(2\) つの科目 X と Y の試験を受けた \(10\) 人の得点をまとめたものである. \[ \begin{array}{c|cccccccccc} & [1] & [2] & [3] & [4] & [5] & [6] & [7] & [8] & [9] & [10] \\ \hline \text{科目 X の得点} & a & c & a & b & b & a & c & c & b & c \\ \hline \text{科目 Y の得点} & a & b & b & b & a & a & b & a & b & a \end{array} \] 科目 X の得点の平均値と科目 Y の得点の平均値とは等しいとする.
(1) 科目 X の得点の分散を \({s _ X}^2\) , 科目 Y の得点の分散を \({s _ Y}^2\) とする. \(\dfrac{{s _ X}^2}{{s _ Y}^2}\) を求めよ.
(2) 科目 X の得点と科目 Y の得点の相関係数を, 四捨五入して小数第 \(1\) 位まで求めよ.
(3) 科目 X の得点の中央値が \(65\) , 科目 Y の得点の標準偏差が \(11\) であるとき, \(a , b , c\) の組を求めよ.