座標空間内に \(5\) 点 \[ \text{P} \ (0,0,h) , \quad \text{Q} \ (t,0,0) , \quad \text{R} \ (0,t,0) , \quad \text{S} \ (-t,0,0) , \quad \text{T} \ (0,-t,0) \] をとる. ここで \(t , h\) は \(0 \lt t \lt 1 , \ h \gt 0\) を満たす実数である. また点 A \((1,1,0)\) と点 Q を結ぶ線分の長さは線分 PQ の長さと等しいとする. このとき以下の各問いに答えよ.

1. (1)　四角錘 PQRST の表面積を \(t\) を用いて表せ.

2. (2)　\(h\) を \(t\) を用いて表せ.

3. (3)　\(t\) が \(0 \lt t \lt 1\) の範囲で変化するとき, 四角錘 PQRST の体積の最大値を求めよ.

以下の各問いに答えよ. ただし \(t\) は \(0 \lt t \lt \pi\) を満たす実数とする.

1. (1)　次の等式を証明せよ. \[ \left( \cos \dfrac{t}{2} \right) \left( \cos \dfrac{t}{4} \right) \left( \cos \dfrac{t}{8} \right) = \dfrac{\sin t}{8 \sin \dfrac{t}{8}} \]

2. (2)　次のように定義される数列 \(\{ a _ n \}\) の極限値 \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} a _ n\) を \(t\) を用いて表せ. \[ a _ 1 = \cos \dfrac{t}{2} , \ a _ n = a _ {n-1} \left( \cos \dfrac{t}{2^n} \right) \quad ( n =2, 3, \cdots ) \]

3. (3)　数列 \(\{ b _ n \} , \{ c _ n \}\) を次のように定義する. \[\begin{align} b _ 1 & = \sqrt{\dfrac{1}{2}} , \ b _ n = \sqrt{\dfrac{1 +b _ {n-1}}{2}} \quad ( n = 2, 3, \cdots ) \\ c _ 1 & = \sqrt{\dfrac{1}{2}} , \ c _ n = c _ {n-1} b _ n \quad ( n = 2, 3, \cdots ) \end{align}\] このとき \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} c _ n\) を求めよ.

微分可能な関数 \(f(x) , g(x)\) が次の \(4\) 条件を満たしている.

1. (a)　任意の正の実数 \(x\) について, \(f(x) \gt 0 , \ g(x) \gt 0\)

2. (b)　任意の実数 \(x\) について, \(f(-x) =f(x) , \ g(-x) = -g(x)\)

3. (c)　任意の実数 \(x\) , \(y\) について, \(f(x+y) = f(x)f(y) +g(x)g(y)\)

4. (d)　\(\displaystyle\lim _ {x \rightarrow 0} \dfrac{g(x)}{x} = 2\)

このとき以下の各問いに答えよ.

1. (1)　\(f(0)\) および \(g(0)\) を求めよ.

2. (2)　\(\left\{ f(x) \right\}^2 -\left\{ g(x) \right\}^2\) を求めよ.

3. (3)　\(\displaystyle\lim _ {x \rightarrow 0} \dfrac{1-f(x)}{x^2}\) を求めよ.

4. (4)　\(f(x)\) の導関数を \(g(x)\) を用いて表せ.

5. (5)　曲線 \(y = f(x)g(x)\) , 直線 \(x = a \ ( a \gt 0 )\) および \(x\) 軸で囲まれる図形の面積が \(1\) のとき, \(f(a)\) の値を求めよ.