\(a , b , c\) を相異なる正の実数とするとき, 以下の各問いに答えよ.
(1) 次の \(2\) 数の大小を比較せよ. \[ a^3+b^3 , \ a^2b+b^2a \]
(2) 次の \(4\) 数の大小を比較せよ. \[\begin{align} & ( a+b+c ) ( a^2+b^2+c^2 ) , \ ( a+b+c ) ( ab+bc+ca ) , \\ & 3 ( a^3+b^3+c^3 ) , \ 9abc \end{align}\]
(3) \(x , y , z\) を正の実数とするとき \[ \dfrac{y+z}{x} +\dfrac{z+x}{y} +\dfrac{x+y}{z} \] のとりうる値の範囲を求めよ.
座標空間において, \(8\) 点 O \(( 0, 0, 0 )\) , A \(( 1, 0, 0 )\) , B \(( 0, 1, 0 )\) , C \(( 0, 0, 1 )\) , D \(( 0, 1, 1 )\) , E \(( 1, 0, 1 )\) , F \(( 1, 1, 0 )\) , G \(( 1, 1, 1 )\) をとり, この \(8\) 点を頂点とする立方体を \(Q\) とする. また点 P \(( x , y , z )\) と正の実数 \(t\) に対し, \(6\) 点 \(( x+t , y , z )\) , \(( x-t , y , z )\) , \(( x , y+t , z )\) , \(( x , y-t , z )\) , \(( x , y , z+t )\) , \(( x , y , z-t )\) を頂点とする正八面体を \(\alpha _ t ( \text{P} )\) , その外部の領域を \(\beta _ t ( \text{P} )\) で表す. ただし, 立方体および正八面体は内部の領域も含むものとする. このとき以下の各問いに答えよ.
(1) \(0 \lt t \leqq 1\) のとき, \(Q \cap \beta _ t ( \text{O} ) \cap \beta _ t ( \text{D} ) \cap \beta _ t ( \text{E} ) \cap \beta _ t ( \text{F} )\) の体積, すなわち \(5\) 個の領域 \(Q\) , \(\beta _ t ( \text{O} ) , \beta _ t ( \text{D} ) , \beta _ t ( \text{E} ) , \beta _ t ( \text{F} )\) の共通部分の体積を求めよ.
(2) \(Q \cap \alpha _ 1 ( \text{O} ) \cap \beta _ 1 ( \text{A} ) \cap \beta _ 1 ( \text{B} ) \cap \beta _ 1 ( \text{C} )\) の体積を求めよ.
(3) \(0 \lt t \leqq 1\) のとき \[ Q \cap \beta _ t ( \text{O} ) \cap \beta _ t ( \text{A} ) \cap \beta _ t ( \text{B} ) \cap \beta _ t ( \text{C} ) \cap \beta _ t ( \text{D} ) \cap \beta _ t ( \text{E} ) \cap \beta _ t ( \text{F} ) \cap \beta _ t ( \text{G} ) \] の体積を \(t\) で表せ.
\(xy\) 平面において, 次の円 \(C\) と楕円 \(E\) を考える. \[\begin{align} C & : \ x^2+y^2 = 1 \\ E & : \ x^2+\dfrac{y^2}{2} = 1 \end{align}\] また, \(C\) 上の点 P \(( s , t )\) における \(C\) の接線を \(l\) とする. このとき以下の各問いに答えよ.
以下, \(t \gt 0\) とし, \(E\) が \(l\) から切り取る線分の長さを \(L\) とする.
(2) \(L\) を \(t\) を用いて表せ.
(3) P が動くとき, \(L\) の最大値を求めよ.
(4) \(L\) が (3) で求めた最大値をとるとき, \(l\) と \(E\) が囲む領域のうち, 原点を含まない領域の面積を \(A\) とする. \(A\) の値を求めよ.