ある硬貨を投げたとき, 表と裏がそれぞれ確率 \(\dfrac{1}{2}\) で出るとする. この硬貨を投げる操作を繰り返し行い, \(3\) 回続けて表が出たときこの操作を終了する. 自然数 \(n\) に対し,

• 操作がちょうど \(n\) 回目で終了となる確率を \(P _ n\)

• 操作が \(n\) 回以上繰り返される確率を \(Q _ n\)

とする. このとき以下の各問いに答えよ.

1. (1)　\(P _ 3 , P _ 4 , P _ 5 , P _ 6 , P _ 7\) をそれぞれ求めよ.

2. (2)　\(Q _ 6 , Q _ 7\) をそれぞれ求めよ.

3. (3)　\(n \geqq 5\) のとき, \(Q _ n -Q _ {n-1}\) を \(Q _ {n-4}\) を用いて表せ.

4. (4)　\(n \geqq 4\) のとき, \(Q _ n \lt \left( \dfrac{3}{4} \right)^{\frac{n-3}{4}}\) が成り立つことを示せ.

座標平面において, 原点を O とし, 次のような3点 P , Q , R を考える.

1. (a)　点 P は \(x\) 軸上にあり, その \(x\) 座標は正である.

2. (b)　点 Q は第 \(1\) 象限にあって, \(\text{OQ} = \text{QP} = 1\) を満たす.

3. (c)　点 R は第 \(1\) 象限にあって, \(\text{OR} +\text{RP} = 2\) を満たし, かつ線分 RP が \(x\) 軸に垂直となる.

ただし, 座標軸は第 \(1\) 象限に含めないものとする. このとき以下の各問いに答えよ.

1. (1)　上の条件を満たす \(2\) 点 Q , R が存在するような, 点 P の \(x\) 座標が取りうる値の範囲を求めよ.

2. (2)　(1) の範囲を点 P が動くとき, 線分 QR が通過する領域を図示し, その面積を求めよ.

3. (3)　線分 OP の中点を M とする. (1) の範囲を点 P が動くとき, 四角形 MPRQ の面積を最大にする点 P の \(x\) 座標を求めよ.

自然数 \(n\) に対し \[\begin{align} S _ n & = \displaystyle\int _ 0^1 \dfrac{1 -(-x)^n}{1+x} \, dx \\ T _ n & = \textstyle\sum\limits _ {k=1}^n \dfrac{(-1)^{k-1}}{k( k+1 )} \end{align}\] とおく. このとき以下の各問いに答えよ.

1. (1)　次の不等式を示せ. \[ \left| S _ n -\displaystyle\int _ 0^1 \dfrac{1}{1+x} \, dx \right| \leqq \dfrac{1}{n+1} \]

2. (2)　\(T _ n -2S _ n\) を \(n\) を用いて表せ.

3. (3)　極限値 \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} T _ n\) を求めよ.