数列 \(\{ a _ n \} , \{ b _ n \}\) を次のように定義する. \[ \left\{ \begin{array}{ll} a _ 1 =5 , \ b _ 1 =3 , & \\ \left( \begin{array}{c} a _ {n+1} \\ b _ {n+1} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 5 & 3 \\ 3 & 5 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} a _ n \\ b _ n \end{array} \right) & (n=1, 2, 3, \cdots ) \end{array} \right. \] また, 自然数 \(n\) について \(c _ n ={a _ n}^2 -{b _ n}^2\) とおく. このとき以下の各問いに答えよ.

1. (1)　\(c _ n\) を \(n\) を用いて表せ.

2. (2)　\(k\) を自然数とするとき, 自然数 \(\ell\) について \[ a _ {k+\ell} =a _ k a _ {\ell} +b _ k b _ {\ell} , \ b _ {k+\ell} =b _ k a _ {\ell} +a _ k b _ {\ell} \] が成立することを, \(\ell\) に関する数学的帰納法によって示せ.

3. (3)　\(n \gt \ell\) となる自然数 \(n , \ell\) について \[ b _ {n+\ell} -c _ {\ell} b _ {n-\ell} = 2a _ n b _ {\ell} \] が成立することを示せ.

4. (4)　\(2\) 以上の自然数 \(n\) について \[ a _ {2n} +\textstyle\sum\limits _ {m=1}^{n-1} c _ {n-m} a _ {2m} =\dfrac{b _ {2n+1}}{2b _ 1} -\dfrac{c _ n}{2} \] が成立することを示せ.

\(a^2+b^2=1\) を満たす正の実数 \(a , b\) の全体を \(S\) とする. \(S\) に含まれる \((a, b)\) に対し, \(xyz\) 空間内に \(3\) 点 P \((a, b, b)\) , Q \((-a, b, b)\) , R \((0, 0, b)\) をとる. また原点を O とする. このとき以下の各問いに答えよ.

1. (1)　三角形 OPQ を \(x\) 軸のまわりに \(1\) 回転してできる立体を \(F _ 1\) とする. \((a, b)\) が \(S\) の中を動くとき, \(F _ 1\) の体積の最大値を求めよ.

2. (2)　三角形 PQR を \(x\) 軸のまわりに \(1\) 回転してできる立体を \(F _ 2\) とする. \(a = b = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\) のとき, \(F _ 2\) の \(xy\) 平面による切り口の周を \(xy\) 平面上に図示せよ.

3. (3)　三角形 OPR を \(x\) 軸のまわりに \(1\) 回転してできる立体を \(F _ 3\) とする. \((a, b)\) が \(S\) の中を動くとき, \(F _ 3\) の体積の最大値を求めよ.

関数 \(f(x) =x^3-x^2+x\) について, 以下の各問いに答えよ.

1. (1)　\(f(x)\) はつねに増加する関数であることを示せ.

2. (2)　\(f(x)\) の逆関数を \(g(x)\) とおく. \(x \gt 0\) について \[ \sqrt[3]{x} -1 \lt g(x) \lt \sqrt[3]{x} +1 \] が成立することを示せ.

3. (3)　\(b \gt a \gt 0\) について \[ 0 \lt \displaystyle\int _ a^b \dfrac{1}{x^2+1} \, dx \lt \dfrac{1}{a} \] が成立することを示せ.

4. (4)　自然数 \(n\) について, (2) で定義された \(g(x)\) を用いて \[ A _ n =\displaystyle\int _ n^{2n} \dfrac{1}{\{ g(x) \}^3 +g(x)} \, dx \] とおくとき, 極限値 \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} A _ n\) を求めよ.