以下の各問いに答えよ.

1. (1)　実数 \(\alpha , \beta\) が \(0 \lt \alpha \lt \dfrac{\pi}{2}\) , \(0 \lt \beta \lt \dfrac{\pi}{2}\) , \(\tan \alpha \tan \beta = 1\) を満たすとき, \(\alpha +\beta\) の値を求めよ.

2. (2)　実数 \(\alpha , \beta , \gamma\) が \(0 \lt \alpha \lt \dfrac{\pi}{2}\) , \(0 \lt \beta \lt \dfrac{\pi}{2}\) , \(0 \lt \gamma \lt \dfrac{\pi}{2}\) , \(\alpha +\beta +\gamma = \dfrac{\pi}{2}\) を満たすとき, \[ \tan \alpha \tan \beta +\tan \beta \tan \gamma +\tan \gamma \tan \alpha \] の値は一定であることを示せ.

3. (3)　実数 \(\alpha , \beta , \gamma\) が \(0 \lt \alpha \lt \dfrac{\pi}{2}\) , \(0 \lt \beta \lt \dfrac{\pi}{2}\) , \(0 \lt \gamma \lt \dfrac{\pi}{2}\) , \(\alpha +\beta +\gamma = \dfrac{\pi}{2}\) を満たすとき, \[ \tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma \] のとりうる値の範囲を求めよ.

\(2\) 次正方行列 \(\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)\) のうち, 次の \(3\) 条件 (i) , (ii) , (iii) を満たすもの全体の集合を \(M\) とする.

1. (i)　\(a , b , c , d\) はすべて整数

2. (ii)　\(b+c = 0\)

3. (iii)　\(a-b-d = 0\)

また \(E\) を \(2\) 次単位行列とする. このとき以下の各問いに答えよ.

1. (1)　行列 \(A , B\) がともに \(M\) の要素であるとき, それらの積 \(AB\) も \(M\) の要素であることを示せ.

2. (2)　行列 \(A = \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)\) とその逆行列 \(A^{-1}\) がともに \(M\) の要素であるとき, \(ad-bc = 1\) が成立することを示せ.

3. (3)　行列 \(A\) とその逆行列 \(A^{-1}\) がともに \(M\) の要素であるような \(A\) をすべて求めよ.

4. (4)　自然数 \(n\) について, \(M\) の要素であって \(A^n = E\) を満たすような行列 \(A\) の全体の集合を \(S _ n\) とする. \(S _ n\) の要素の個数がちょうど \(3\) となる \(n\) をすべて求めよ.

\(m , n\) を自然数として, 関数 \(f(x) = x^m (1-x)^n\) を考える. このとき以下の各問いに答えよ.

1. (1)　\(0 \leqq x \leqq 1\) における \(f(x)\) の最大値を \(m , n\) を用いて表せ.

2. (2)　定積分 \(\displaystyle\int _ 0^1 f(x) \, dx\) を \(m , n\) を用いて表せ.

3. (3)　\(a , b , c\) を実数として, 関数 \(g(x) = ax^2+bx+c\) の \(0 \leqq x \leqq 1\) における最大値を \(M(a,b,c)\) とする. 次の \(2\) 条件 (i) , (ii) が成立するとき, \(M(a,b,c)\) の最小値を \(m , n\) を用いて表せ.

4. (i)　\(g(0) = g(1) = 0\)

5. (ii)　\(0 \lt x \lt 1\) のとき \(f(x) \leqq g(x)\)

6. (4)　\(m , n\) が \(2\) 以上の自然数で \(m \gt n\) であるとき \[ \dfrac{(m+n+1)!}{m! n!} \gt \dfrac{(m+n)^{m+n}}{m^m n^n} \gt 2^{2n-1} \ . \] が成立することを示せ.