自然数 \(n\) に対し, \(3\) 個の数字 \(1, 2, 3\) から重複を許して \(n\) 個並べたもの \(( x _ 1 , x _ 2 , \cdots , x _ n)\) の全体の集合を \(S _ n\) とおく. \(S _ n\) の要素 \(( x _ 1 , x _ 2 , \cdots , x _ n)\) に対し, 次の \(2\) つの条件を考える.

1. 条件 \( \text{C} {} _ {12}\) : \(1 \leqq i \lt j \leqq n\) である整数 \(i , j\) の組で, \(x _ i = 1\) , \(x _ j = 2\) を満たすものが少なくとも \(1\) つ存在する.

2. 条件 \( \text{C} {} _ {123}\) : \(1 \leqq i \lt j \lt k \leqq n\) である整数 \(i , j , k\) の組で, \(x _ i = 1\) , \(x _ j = 2\) , \(x _ k = 3\) を満たすものが少なくとも \(1\) つ存在する.

例えば, \(S _ 4\) の要素 \(( 3, 1, 2, 2 )\) は条件 \( \text{C} {} _ {12}\) を満たすが, 条件 \( \text{C} {} _ {123}\) は満たさない.
\(S _ n\) の要素 \(( x _ 1 , x _ 2 , \cdots , x _ n)\) のうち, 条件 \( \text{C} {} _ {12}\) を満たさないものの個数を \(f(n)\) , 条件 \( \text{C} {} _ {123}\) を満たさないものの個数を \(g(n)\) とおく. このとき以下の各問いに答えよ.

1. (1)　\(f(4)\) と \(g(4)\) を求めよ.

2. (2)　\(f(n)\) を \(n\) を用いて表せ.

3. (3)　\(g(n+1)\) を \(g(n)\) と \(f(n)\) を用いて表せ.

4. (4)　\(g(n)\) を \(n\) を用いて表せ.

\(0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{2}\) を満たす実数 \(\theta\) に対し, \(xyz\) 空間内の \(4\) 点 A \(( \cos \theta , \cos \theta , \sin \theta )\) , B \(( -\cos \theta , -\cos \theta , \sin \theta )\) , C \(( \cos \theta , -\cos \theta , -\sin \theta )\) , D \(( -\cos \theta , \cos \theta , -\sin \theta )\) を頂点とする四面体の体積を \(V( \theta )\) , この四面体の \(xz\) 平面による切り口の面積を \(S( \theta )\) とする. このとき以下の各問いに答えよ.

1. (1)　\(S \left( \dfrac{\pi}{6} \right)\) , \(V \left( \dfrac{\pi}{6} \right)\) をそれぞれ求めよ.

2. (2)　\(0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{2}\) における \(S( \theta )\) の最大値を求めよ.

3. (3)　\(0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{2}\) における \(V( \theta )\) の最大値を求めよ.

\(a\) を正の実数, \(k\) を自然数とし, \(x \gt 0\) で定義される関数 \[ f(x) = \displaystyle\int _ a^{ax} \dfrac{k +\sqrt[k]{u}}{ku} \, du \ . \] を考える. このとき以下の各問いに答えよ.

1. (1)　\(f(x)\) の増減および凹凸を調べ, \(y = f(x)\) のグラフの概形をかけ.

2. (2)　\(S\) を正の実数とするとき, \(f(p) = S\) を満たす実数 \(p\) がただ \(1\) つ存在することを示せ.

3. (3)　\(b = \dfrac{k}{k +\sqrt[k]{a}}\) とおくとき, (2) の \(S , p\) について, 次の不等式が成立することを示せ. \[ 1 +bS \lt p \lt e^{bS} \]