\(n\) を自然数, \(m\) を \(2n\) 以下の自然数とする. \(1\) から \(n\) までの自然数が \(1\) つずつ記されたカードが, それぞれの数に対して \(2\) 枚ずつ, 合計 \(2n\) 枚ある. この中から, \(m\) 枚のカードを無作為に選んだとき, それらに記された数がすべて異なる確率を \(P _ n (m)\) と表す. ただし \(P _ n (1) = 1\) とする. さらに, \(E _ n (m) = m P _ n (m)\) とおく. このとき以下の各問いに答えよ.

1. (1)　\(P _ 3 (2) , P _ 3 (3) , P _ 3 (4)\) を求めよ.

2. (2)　\(E _ {10} (m)\) を最大にするような \(m\) を求めよ.

3. (3)　自然数 \(n\) に対し, \(E _ n (m) \gt E _ n (m+1)\) を満たす自然数 \(m\) の最小値を \(f(n)\) とするとき, \(f(n)\) を \(n\) を用いて表せ. ただし, ガウス記号 \([ \quad ]\) を用いてよい. ここで, 実数 \(x\) に対して, \(x\) を超えない最大の整数を \([x]\) と表す.

実数 \(a , b\) に対し, \(f(x) = x^3 -3ax +b\) とおく. \(-1 \leqq x \leqq 1\) における \(\left| f(x) \right|\) の最大値を \(M\) とする. このとき以下の各問いに答えよ.

1. (1)　\(a \gt 0\) のとき, \(f(x)\) の極値を \(a , b\) を用いて表せ.

2. (2)　\(b \geqq 0\) のとき, \(M\) を \(a , b\) を用いて表せ.

3. (3)　\(a , b\) が実数全体を動くとき, \(M\) のとりうる値の範囲を求めよ.

座標平面上で次のように媒介変数表示される曲線 \(C\) を考える. \[ \left\{ \begin{array}{l} x = | \cos t | \cos^3 t \\ y = | \sin t | \sin^3 t \end{array} \right. \quad ( 0 \leqq t \leqq 2 \pi ) \] このとき以下の各問いに答えよ.

1. (1)　次の条件 (＊) を満たす第 \(1\) 象限内の定点 F の座標を求めよ.

   1. (＊) 第 \(1\) 象限内で \(C\) 上にあるすべての点 P について, P から直線 \(x+y = 0\) に下ろした垂線を PH とするとき, つねに \(\text{PF} = \text{PH}\) となる.

2. (2)　点 P が \(C\) 全体を動くとき, P と (1) の定点 F を結ぶ線分 PF が通過する領域を図示し, その面積を求めよ.

3. (3)　(2) の領域を \(x\) 軸のまわりに \(1\) 回転してできる立体の体積を求めよ.