\(0\) から \(9\) までの相異なる整数が \(1\) つずつ書かれた \(10\) 個の球が, 袋の中に入っている. この袋から球を無作為に \(1\) 個取り出してはもとにもどす操作を \(3\) 回繰り返したとき, 取り出した球に書かれている数を順に \(a_1 , a_2 , a_3\) とする. また \(b_1 = 10 +a_1\) , \(b_2 = 20 +a_2\) , \(b_3 = 30 +a_3\) とおき, \(b_1 , b_2 , b_3 , b_1 +b_2 +b_3\) の \(1\) の位を四捨五入してえられる数をそれぞれ \(c_1 , c_2 , c_3 , c_4\) とする. このとき以下の各問いに答えよ.
(1) \(b_1 +b_2 +b_3 = 70\) となる確率を求めよ.
(2) \(c_4 = 90\) となる確率を求めよ.
(3) \(c_1 = 20\) かつ \(c_1 +c_2 +c_3 \gt c_4\) となる確率を求めよ.
\(a , h\) を正の実数とし, \(xyz\) 空間の \(5\) 点 A \(( a , a , 0 )\) , B \(( -a , a , 0 )\) , C \(( -a , -a , 0 )\) , D \(( a , -a , 0 )\) , E \(( 0 , 0 , h )\) を頂点とする四角錐を \(P\) とする. \(P\) の \(yz\) 平面による断面の周の長さが \(1\) であるとき, 以下の各問いに答えよ.
(1) \(h\) を \(a\) の式で表せ. また, \(a\) が取り得る値の範囲を求めよ.
(2) 球 \(S\) は \(P\) のすべての面に接しているとする. \(a\) が (1) で求めた範囲を動くとき, \(S\) の体積が最大となる \(a\) の値を求めよ.
(3) 直方体 \(Q\) は \(1\) つの面が \(xy\) 平面上にあり, すべての頂点が \(P\) の辺上または面上にあるとする. \(a\) を固定したとき, \(Q\) の体積が取り得る値の最大値を \(V(a)\) とおく. \(a\) が (1) で求めた範囲を動くとき, \(V(a)\) の最大値を求めよ.
\(a , b\) を正の実数とし, 曲線 \(C : y = b \sqrt{1 +\dfrac{x^2}{a^2}}\) を考える. このとき以下の各問いに答えよ.
(1) \(u\) を実数とし, \(C\) 上の点\(\left( u , b \sqrt{1 +\dfrac{u^2}{a^2}} \right)\) における接線の方程式を, \(a , b , u\) を用いて表せ.
(2) \(C\) 上の異なる \(2\) 点における接線の交点の全体からなる領域を図示せよ.
(3) (2) の領域にある点 \(( p , q )\) について, 点 \(( p , q )\) を通る \(C\) の接線の接点をすべて通る直線の方程式を, \(a , b , p , q\) を用いて表せ.