\(xyz\) 空間で O \((0, 0, 0)\) , A \((3, 0, 0)\) , B \((3, 2, 0)\) , C \((0, 2, 0)\) , D \((0, 0, 4)\) , E \((3, 0, 4)\) , F \((3, 2, 4)\) , G \((0, 2, 4)\) を頂点とする直方体 OABC-DEFG を考える. 辺 AE を \(s : 1-s\) に内分する点を P , 辺 CG を \(t : 1-t\) に内分する点を Q とおく. ただし, \(0 \lt s \lt 1\) , \(0 \lt t \lt 1\) とする. D を通り, O, P, Q を含む平面に垂直な直線が線分 AC （両端を含む）と交わるような \(s , t\) のみたす条件を求めよ.
平面上の鋭角三角形 △ABC の内部（辺や頂点は含まない）に点 P をとり, A' を B, C, P を通る円の中心, B' を C, A, P を通る円の中心, C' を A, B, P を通る円の中心とする. このとき A, B, C, A', B', C' が同一円周上にあるための必要十分条件は P が △ABC の内心に一致することであることを示せ.
\(n\) 枚のカードを積んだ山があり, 各カードには上から順番に \(1\) から \(n\) まで番号がつけられている. ただし, \(n \geqq 2\) とする. このカードの山に対して次の試行を繰り返す. \(1\) 回の試行では, 一番上のカードを取り, 山の一番上にもどすか, あるいはいずれかのカードの下に入れるという操作を行う. これら \(n\) 通りの操作はすべて同じ確率であるとする. \(n\) 回の試行を終えたとき, 最初一番下にあったカード（番号 \(n\) ）が山の一番上にきている確率を求めよ.
\(A = \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)\) を \(ad-bd = 1\) をみたす行列とする（ \(a , b , c , d\) は実数）. 自然数 \(n\) に対して平面上の点 \(\text{P} {} _ n \, \left( x _ n , y _ n \right)\) を \[ \left( \begin{array}{c} x _ n \\ y _ n \end{array} \right) = A^n \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) \] により定める. \(\overrightarrow{\text{OP} {} _ 1}\) と \(\overrightarrow{\text{OP} {} _ 2}\) の長さが \(1\) のとき, すべての \(n\) に対して \(\overrightarrow{\text{OP} {} _ n}\) の長さが \(1\) であることを示せ. ここで O は原点である.
\(xy\) 平面上で原点を極, \(x\) 軸の正の方向を始線とする極座標に関して, 極方程式 \(r = 2 +\cos \theta \quad \left( 0 \leqq \theta \leqq \pi \right)\) により表される曲線を \(C\) とする. \(C\) と \(x\) 軸とで囲まれた図形を \(x\) 軸のまわりに \(1\) 回転して得られる立体の体積を求めよ.
\(a\) と \(b\) を互いに素, すなわち \(1\) 以外の公約数を持たない正の整数とし, さらに \(a\) は奇数とする. 正の整数 \(n\) に対して整数 \(a _ n , b _ n\) を \(\left( a+b \sqrt{2} \right)^n = a _ n +b _ n \sqrt{2}\) をみたすように定めるとき, 次の (1) , (2) を示せ. ただし \(\sqrt{2}\) が無理数であることは証明なしに用いてよい.
(1) \(a _ 2\) は奇数であり, \(a _ 2\) と \(b _ 2\) は互いに素である.
(2) すべての \(n\) に対して, \(a _ n\) は奇数であり, \(a _ n\) と \(b _ n\) は互いに素である.