四面体 ABCD において \(\overrightarrow{\text{CA}}\) と \(\overrightarrow{\text{CB}}\) , \(\overrightarrow{\text{DA}}\) と \(\overrightarrow{\text{DB}}\) , \(\overrightarrow{\text{AB}}\) と \(\overrightarrow{\text{CD}}\) はそれぞれ垂直であるとする. 　このとき, 頂点 A , 頂点 B および辺 CD の中点 M の \(3\) 点を通る平面は辺 CD と直交することを示せ.

\(x\) を正の実数とする. 座標平面上の \(3\) 点A \(( 0 , 1 )\) , B \(( 0 , 2 )\) , P \(( x , x )\) をとり, △APBを考える. \(x\) の値が変化するとき, \(\angle \text{APB}\) の最大値を求めよ.

\(a\) を正の実数とする. 座標平面において曲線 \(y = \sin x \ \left( 0 \leqq x \leqq \pi \right)\) と \(x\) 軸とで囲まれた図形の面積を \(S\) とし, 曲線 \(y = \sin x \ \left( 0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2} \right)\) , 曲線 \(y = a \cos x \ \left( 0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2} \right)\) および \(x\) 軸とで囲まれた図形の面積を \(T\) とする. このとき, \(S : T = 3 : 1\) となるような \(a\) の値を求めよ.

\(1 \lt a \lt 2\) とする. \(3\) 辺の長さが \(\sqrt{3} , a , b\) である鋭角三角形の外接円の半径が \(1\) であるとする. このとき \(a\) を用いて \(b\) を表せ.

次の問いに答えよ.

1. (1)　\(n\) を正の整数, \(a = 2^n\) とする. \(3^a-1\) は \(2^{n+2}\) で割り切れるが \(2^{n+3}\) では割り切れないことを示せ.

2. (2)　\(m\) を正の偶数とする. \(3^m-1\) が \(2^m\) で割り切れるならば \(m = 2\) または \(m = 4\) であることを示せ.

\(n\) 個のボールを \(2n\) 個の箱へ投げ入れる. 各ボールはいずれかの箱に入るものとし, どの箱に入る確率も等しいとする. どの箱にも \(1\) 個以下のボールしか入っていない確率を \(p _ n\) とする. このとき, \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \dfrac{\log p _ n}{n}\) を求めよ.