次の各問に答えよ.

1. (1)　\(a\) が正の実数のとき \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \left( 1+a^n \right)^{\frac{1}{n}}\) を求めよ.

2. (2)　定積分 \(\displaystyle\int _ 1^{\sqrt{3}} \dfrac{1}{x^2} \log \sqrt{1+x^2} \, dx\) の値を求めよ.

正四面体 OABC において, 点 P, Q, R をそれぞれ辺 OA, OB, OC 上にとる. ただし P, Q, R は四面体 OABC の頂点とは異なるとする. △PQR が正三角形ならば, \(3\) 辺 PQ, QR, RP はそれぞれ \(3\) 辺 AB, BC, CA に平行であることを証明せよ.

実数 \(x , y\) が条件 \(x^2 +xy +y^2 =6\) を満たしながら動くとき \[ x^2y +xy^2 -x^2 -2xy -y^2 +x +y \] がとりうる値の範囲を求めよ.

1. (1)　\(\sqrt[3]{2}\) が無理数であることを証明せよ.

2. (2)　\(P(x)\) は有理数を係数とする \(x\) の多項式で, \(P( \sqrt[3]{2} ) =0\) を満たしているとする. このとき \(P(x)\) は \(x^3-2\) で割り切れることを証明せよ.

次の命題 (p) , (q) のそれぞれについて, 正しいかどうか答えよ. 正しければ証明し, 正しくなければ反例を挙げて正しくないことを説明せよ.

1. (p)　正 \(n\) 角形の頂点から \(3\) 点を選んで内角の \(1\) つが \(60^{\circ}\) である三角形を作ることができるならば, \(n\) は \(3\) の倍数である.

2. (q)　△ABC と △ABD において, \(\text{AC} \lt \text{AD}\) かつ \(\text{BC} \lt \text{DB}\) ならば, \(\angle \text{C} \gt \angle \text{D}\) である.

さいころを \(n\) 回投げて出た目を順に \(X _ 1 , X _ 2 , \cdots , X _ n\) とする. さらに \[ Y _ 1 = X _ 1 , \ Y _ k = X _ k +\dfrac{1}{Y _ {k-1}} \quad ( k =2, \cdots , n ) \] によって \(Y _ 1 , Y _ 2 , \cdots , Y _ n\) を定める. \[ \dfrac{1+\sqrt{3}}{2} \leqq Y _ n \leqq 1+\sqrt{3} \] となる確率 \(p _ n\) を求めよ.