\(2\) 次の正方行列 \(A _ 0 , A _ 1 , A _ 2 , A _ 3 , \cdots\) を \[ A _ 0 = O , \quad A _ n = B +A _ {n-1} C \quad ( n =1, 2, 3, \cdots ) \] で定める. ただし, \(O\) は \(2\) 次の零行列, \(B\) と \(C\) は \(2\) 次の正方行列とする.

1. (1)　\(A _ n ( E-C )\) を \(B\) と \(C\) を用いて表せ. ここで \(E\) は \(2\) 次の単位行列とする.

2. (2)　\(B\) と \(C\) を \[ B = \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) , \quad C = \left( \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ -1 & 1 \end{array} \right) \] とするとき, \(A _ {3n}\) を求めよ.

点 O で交わる \(2\) つの半直線 OX , OY があって \(\angle \text{XOY} = 60^{\circ}\) とする. \(2\) 点 A , B が OX 上に, O , A , B の順に, また, \(2\) 点 C , D が OY 上に O , C , D の順に並んでいるとして, 線分 AC の中点を M , 線分 BD の中点を N とする. 線分 AB の長さを \(s\) , 線分 CD の長さを \(t\) とするとき, 以下の問いに答えよ.

1. (1)　線分 MN の長さを \(s\) と \(t\) を用いて表せ.

2. (2)　点 A , B と C , D が, \(s^2+t^2=1\) を満たしながら動くとき, 線分 MN の長さの最大値を求めよ.

\(N\) を \(2\) 以上の自然数とする.

1. (1)　関数 \(f(x) = (N-x) \log x\) を \(1 \leqq x \leqq N\) の範囲で考える. このとき, 曲線 \(y =f(x)\) は上に凸であり, 関数 \(f(x)\) は最大値を \(1\) つだけとる. このことを示せ.

2. (2)　自然数の列 \(a _ 1 , a _ 2 , \cdots , a _ N\) を \[ a _ n = n^{N-n} \quad ( n =1, 2, \cdots , N ) \] で定める. \(a _ 1 , a _ 2 , \cdots , a _ N\) のうちで最大の値を \(M\) とし, \(M = a _ n\) となる \(n\) の個数を \(k\) とする. このとき \(k \leqq 2\) であることを示せ.

3. (3)　(2) で \(k=2\) となるのは, \(N\) が \(2\) のときだけであることを示せ.

\(t\) を負の実数とし, \(xy\) 平面上で曲線 \(y = 2^{2x+2t}\) と曲線 \(y = 2^{x+3t}\) および \(y\) 軸で囲まれる部分を \(D\) とする.

1. (1)　\(D\) を \(x\) 軸の周りに \(1\) 回転させてできる回転体の体積 \(V(t)\) を求めよ.

2. (2)　\(t\) が負の実数の範囲を動くとき, \(V(t)\) の最大値を求めよ.

\(1\) 枚の硬貨を繰り返し投げる反復試行を行い, 表が \(500\) 回続けて出たときに終わるものとする. \(n\) を \(500\) 以上の自然数とするとき, この反復試行が \(n\) 回目で終わる確率を \(p(n)\) とする.

1. (1)　\(501 \leqq n \leqq 1000\) のとき, \(p(n)\) は \(n\) に関係なく一定の値になることを示し, またその値を求めよ.

2. (2)　\(p(1002) -p(1001)\) の値を求めよ.

3. (3)　\(1002 \leqq n \leqq 1500\) のとき, \(p(n+1) -p(n)\) の値を求めよ.