関数 \[ f(x) = 2 \log \left( 1+e^x \right) -x -\log 2 \] を考える.
(1) \(f(x)\) の第 \(2\) 次導関数を \(f''(x)\) とする. 等式 \[ \log f''(x) = -f(x) \] が成り立つことを示せ.
(2) 定積分 \(\displaystyle\int _ 0^{\log 2} \left( x-\log 2 \right) e^{-f(x)} \, dx\) を求めよ.
\(0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{2}\) とする. \(2\) つの曲線 \[ C _ 1 : \ x^2 + 3y^2 = 3 , \quad C _ 2 : \ \dfrac{x^2}{\cos^2 \theta} - \dfrac{y^2}{\sin^2 \theta} = 2 \] の交点のうち, \(x\) 座標と \(y\) 座標がともに正であるものを P とする. P における \(C _ 1 , C _ 2\) の接線をそれぞれ \(\ell _ 1 , \ell _ 2\) とし, \(y\) 軸と \(\ell _ 1 , \ell _ 2\) の交点をそれぞれ Q , R とする. \(\theta\) が \(0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{2}\) の範囲を動くとき, 線分 QR の長さの最小値を求めよ.
\(\ell , m , n\) を \(3\) 以上の整数とする. 等式 \[ \left( \dfrac{n}{m} -\dfrac{n}{2} +1 \right) \ell = 2 \] を満たす \(\ell , m , n\) の組をすべて求めよ.
半径 \(3\) の球 \(T _ 1\) と半径 \(1\) の球 \(T _ 2\) が, 内接した状態で空間に固定されている. 半径 \(1\) の球 \(S\) が次の条件 (A) , (B) を満たしながら動く.
(A) \(S\) は \(T _ 1\) の内部にあるか \(T _ 1\) に内接している.
(B) \(S\) は \(T _ 2\) の外部にあるか \(T _ 2\) に外接している.
\(S\) の中心が存在しうる範囲を \(D\) とするとき, 立体 \(D\) の体積を求めよ.
\(n\) を \(0\) 以上の整数とする. 立方体 ABCD-EFGH の頂点を, 以下のように移動する \(2\) つの動点 P , Q を考える. 時刻 \(0\) には P は頂点 A に位置し, Q は頂点 C に位置している. 時刻 \(n\) において, P と Q が異なる頂点に位置していれば, 時刻 \(n+1\) には, P は時刻 \(n\) に位置していた頂点から, それに隣接する \(3\) 頂点のいずれかに等しい確率で移り, Q も時刻 \(n\) に位置していた頂点から, それに隣接する \(3\) 頂点のいずれかに等しい確率で移る. 一方, 時刻 \(n\) において, P と Q が同じ頂点に位置していれば, 時刻 \(n+1\) には P も Q も時刻 \(n\) の位置からは移動しない.
(1) 時刻 \(1\) において, P と Q が異なる頂点に位置するとき, P と Q はどの頂点にあるか, 可能な組み合わせをすべて挙げよ.
(2) 時刻 \(n\) において, P と Q が異なる頂点に位置する確率 \(r _ n\) を求めよ.
(3) 時刻 \(n\) において, P と Q がともに上面 ABCD の異なる頂点に位置するか, またはともに下面 EFGH の異なる頂点に位置するかのいずれかである確率を \(p _ n\) とする. また, 時刻 \(n\) において, P と Q のいずれか一方が上面 ABCD , 他方が下面 EFGH にある確率を \(q _ n\) とする. \(p _ {n+1}\) を, \(p _ n\) と \(q _ n\) を用いて表せ.
(4) \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \dfrac{q _ n}{p _ n}\) を求めよ.