\(a \gt 0\) とする. \(C _ 1\) を曲線 \(x^2+\dfrac{y^2}{a^2} =1\) , \(C _ 2\) を直線 \(y=2ax-3a\) とする. このとき, 以下の問いに答えよ.
(1) 点 P が \(C _ 1\) 上を動き, 点 Q が \(C _ 2\) 上を動くとき, 線分 PQ の長さの最小値を \(f(a)\) とする. \(f(a)\) を \(a\) を用いて表せ.
(2) 極限値 \(\displaystyle\lim _ {a \rightarrow \infty} f(a)\) を求めよ.
次の \(2\) つの条件 (i) , (ii) をみたす自然数 \(n\) について考える.
(i) \(n\) は素数ではない.
(ii) \(l , m\) を \(1\) でも \(n\) でもない \(n\) の正の約数とすると, 必ず \[ | l-m | \leqq 2 \] である.
このとき, 以下の問いに答えよ.
(1) \(n\) が偶数のとき, (i) , (ii) をみたす \(n\) をすべて求めよ.
(2) \(n\) が \(7\) の倍数のとき, (i) , (ii) をみたす \(n\) をすべて求めよ.
(3) \(2 \leqq n \leqq 1000\) の範囲で, (i) , (ii) をみたす \(n\) をすべて求めよ.
\(xyz\) 空間に \(3\) 点 O \((0,0,0)\) , A \((1,0,1)\) , B \((0,\sqrt{3},1)\) がある. 平面 \(z=0\) に含まれ, 中心が O , 半径が \(1\) の円を \(W\) とする. 点 P が線分 OA 上を, 点 Q が円 \(W\) の周および内部を動くとき, \(\overrightarrow{\text{OR}} =\overrightarrow{\text{OP}} +\overrightarrow{\text{OQ}}\) をみたす点R全体がつくる立体を \(V _ A\) とおく. 同様に点 P が線分 OB 上を, 点 Q が円 \(W\) の周および内部を動くとき, \(\overrightarrow{\text{OR}} =\overrightarrow{\text{OP}} +\overrightarrow{\text{OQ}}\) をみたす点 R 全体がつくる立体を \(V _ B\) とおく. さらに \(V _ A\) と \(V _ B\) の重なり合う部分を \(V\) とする. このとき, 以下の問いに答えよ.
(1) 平面 \(z =\cos \theta \ \left( 0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2} \right)\) による立体 \(V\) の切り口の面積を \(\theta\) を用いて表せ.
(2) 立体 \(V\) の体積を求めよ.
\(5\) 次式 \(f(x) =x^5 +px^4 +qx^3 +rx^2 +sx +t \) （ \(p, q, r, s, t\) は実数）について考える. このとき, 以下の問いに答えよ.
(1) 数列 \(f(0) , f(1) , f(2) , f(3) , f(4)\) が等差数列であることと, \[ f(x) =x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) +lx +m \] （ \(l, m\) は実数）と書けることは互いに同値であることを示せ.
(2) \(f(x)\) は (1) の条件をみたすものとする. \(\alpha\) を実数, \(k\) を \(3\) 以上の自然数とする. \(k\) 項からなる数列 \[ f( \alpha ) , f( \alpha +1 ) , f( \alpha +2 ) , \cdots , f( \alpha +k-1 ) \] が等差数列となるような \(\alpha , k\) の組をすべて求めよ.
\(1\) 個のさいころを \(3\) 回続けて投げるとき, \(1\) 回目に出る目を \(l\) , \(2\) 回目に出る目を \(m\) , \(3\) 回目に出る目を \(n\) で表すことにする. このとき, 以下の問いに答えよ.
(1) 極限値 \[ \displaystyle\lim _ {x \rightarrow -1} \dfrac{lx^2 +mx +n}{x+1} \] が存在する確率を求めよ.
(2) 関数 \[ f(x) =\dfrac{lx^2 +mx +n}{x+1} \] が, \(x \gt -1\) の範囲で極値をとる確率を求めよ.