三角関数の極限に関する公式 \[ \displaystyle\lim _ {x \rightarrow 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1 \] を示すことにより, \(\sin x\) の導関数が \(\cos x\) であることを証明せよ.

不等式 \[ 1 \leqq \left| |x|-2 \right| +\left| |y|-2 \right| \leqq 3 \ . \] の表す領域を \(xy\) 平面上に図示せよ.

\(4\) 個の整数 \[ n+1 , \ n^3+3 , \ n^5+5 , \ n^7+7 \] がすべて素数となるような正の整数 \(n\) は存在しない. これを証明せよ.

\(xyz\) 空間内の \(3\) 点 O \((0,0,0)\) , A \((1,0,0)\) , B \((1,1,0)\) を頂点とする三角形 OAB を \(x\) 軸のまわりに \(1\) 回転させてできる円すいを \(V\) とする. 円すい \(V\) を \(y\) 軸のまわりに \(1\) 回転させてできる立体の体積を求めよ.

\(n\) を \(3\) 以上の整数とする. \(n\) 個の球 \(K _ 1 , K _ 2 , \cdots , K _ n\) と \(n\) 個の空の箱 \(H _ 1 , H _ 2 , \cdots , H _ n\) がある. 以下のように, \(K _ 1 , K _ 2 , \cdots , K _ n\) の順番に, 球を箱に \(1\) つずつ入れていく. まず, 球 \(K _ 1\) を箱 \(H _ 1 , H _ 2 , \cdots , H _ n\) のどれか \(1\) つに無作為に入れる. 次に球 \(K _ 2\) を, 箱 \(H _ 2\) が空ならば箱 \(H _ 2\) に入れ, 箱 \(H _ 2\) が空でなければ残りの \(n-1\) 個の空の箱のどれか \(1\) つに無作為に入れる. 一般に, \(i = 2, 3, \cdots , n\) について, 球 \(K _ i\) を, 箱 \(H _ i\) が空ならば箱 \(H _ i\) に入れ, 箱 \(H _ i\) が空でなければ残りの \(n-i+1\) 個の空の箱のどれか \(1\) つに無作為に入れる.

1. (1)　\(K _ n\) が入る箱は \(H _ 1\) または \(H _ n\) である. これを証明せよ.

2. (2)　\(K _ {n-1}\) が \(H _ {n-1}\) に入る確率を求めよ.