実数 \(a , b , c , d , e\) に対して, 座標平面上の点 A \((a,b)\) , B \((c,d)\) , C \((e,0)\) をとる. ただし点 A と点 B はどちらも原点O \((0,0)\) とは異なる点とする. このとき, 実数 \(s , t\) で \[ s \overrightarrow{\text{OA}} +t \overrightarrow{\text{OB}} = \overrightarrow{\text{OC}} \] を満たすものが存在するための, \(a , b , c , d , e\) についての必要十分条件を求めよ.

\(t \gt 0\) において定義された関数 \(f(t)\) は次の条件 (ア) (イ) を満たす.

1. (ア)　\(t \gt 0\) のとき, すべての実数 \(x\) に対して不等式 \[ t \cdot \dfrac{e^x +e^{-x}}{2} +f(t) \geqq 1+x \] が成り立つ.

2. (イ)　\(t \gt 0\) に対して, 等式 \[ t \cdot \dfrac{e^x +e^{-x}}{2} +f(t) = 1+x \] を満たす実数 \(x\) が存在する.

このとき, \(f(t)\) を求めよ.

\(\textstyle\sum\limits _ {n=1}^{40000} \dfrac{1}{\sqrt{n}}\) の整数部分を求めよ.

半径 \(1\) の \(2\) つの球 \(S _ 1\) と \(S _ 2\) が \(1\) 点で接している. 互いに重なる部分のない等しい半径を持つ \(n\) 個（ \(n \geqq 3\) ）の球 \(T _ 1 , T _ 2 , \cdots , T _ n\) があり, 次の条件 (ア) (イ) を満たす.

1. (ア)　\(T _ {i}\) は \(S _ 1 , S _ 2\) にそれぞれ \(1\) 点で接している（ \(i = 1 , 2 , \cdots , n\) ）.

2. (イ)　\(T _ i\) は \(T _ {i+1}\) に \(1\) 点で接しており（ \(i = 1 , 2 , \cdots , n-1\) ）, そして \(T _ n\) は \(T _ 1\) に \(1\) 点で接している.

このとき, 以下の問いに答えよ.

1. (1)　\(T _ 1 , T _ 2 , \cdots , T _ n\) の共通の半径 \(r _ n\) を求めよ.

2. (2)　\(S _ 1\) と \(S _ 2\) の中心を結ぶ直線のまわりに \(T _ 1\) を回転してできる回転体の体積を \(V _ n\) とし, \(T _ 1 , T _ 2 , \cdots , T _ n\) の体積の和を \(W _ n\) とするとき, 極限 \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \dfrac{W _ n}{V _ n} \ . \] を求めよ.

さいころを繰り返し投げ, \(n\) 回目に出た目を \(X _ n\) とする. \(n\) 回目までに出た目の積 \(X _ 1 X _ 2 \cdots X _ n\) を \(T _ n\) で表す. \(T _ n\) を \(5\) で割った余りが \(1\) である確率を \(p _ n\) とし, 余りが \(2, 3, 4\) のいずれかである確率を \(q _ n\) とする.

1. (1)　\(p _ n +q _ n\) を求めよ.

2. (2)　\(p _ {n+1}\) を \(p _ n\) と \(n\) を用いて表せ.

3. (3)　\(r _ n = \left( \dfrac{6}{5} \right)^n p _ n\) とおいて \(r _ n\) を求めることにより, \(p _ n\) を \(n\) の式で表せ.