自然数 \(n\) に対して関数 \(f _ n (x)\) を \[ f _ n (x) = \dfrac{x}{n (1+x)} \log \left( 1 +\dfrac{x}{n} \right) \quad ( x \geqq 0 ) \] で定める. 以下の問いに答えよ.

1. (1)　\(\displaystyle\int _ 0^n f(x) \, dx \leqq \displaystyle\int _ 0^1 \log (1+x) \, dx\) を示せ.

2. (2)　数列 \(\{ I _ n \}\) を \[ I _ n = \displaystyle\int _ 0^n f(x) \, dx \] で定める. \(0 \leqq x \leqq 1\) のとき \(\log ( 1+x ) \leqq \log 2\) であることを用いて数列 \(\{ I _ n \}\) が収束することを示し, その極限値を求めよ. ただし, \(\displaystyle\lim _ {x \rightarrow \infty} \dfrac{\log x}{x} = 0\) であることは用いてよい.

実数 \(x , y\) が \(|x| \leqq 1\) と \(|y| \leqq 1\) を満たすとき, 不等式 \[ 0 \leqq x^2 +y^2 -2 x^2 y^2 +2xy \sqrt{1 -x^2} \sqrt{1 -y^2} \leqq 1 \] が成り立つことを示せ.

以下の問いに答えよ.

1. (1)　\(\sqrt{2}\) と \(\sqrt[3]{3}\) が無理数であることを示せ.

2. (2)　\(p , q , \sqrt{2} +\sqrt[3]{3} q\) がすべて有理数であるとする. そのとき, \(p = q = 0\) であることを示せ.

座標空間の \(x\) 軸上に動点 P , Q がある. P , Q は時刻 \(0\) において, 原点を出発する. P は \(x\) 軸の正の方向に, Q は \(x\) 軸の負の方向に, ともに速さ \(1\) で動く. その後, ともに時刻 \(1\) で停止する. 点 P , Q を中心とする半径 \(1\) の球をそれぞれ \(A , B\) とし, 空間で \(x \geqq -1\) の部分を \(C\) とする. このとき, 以下の問いに答えよ.

1. (1)　時刻 \(t \ ( 0 \leqq t \leqq 1 )\) における立体 \(( A \cup B ) \cap C\) の体積 \(V(t)\) を求めよ.

2. (2)　\(V(t)\) の最大値を求めよ.

\(n\) を \(2\) 以上の整数とする. 正方形の形に並んだ \(n \times n\) のマスに \(0\) または \(1\) のいずれかの数字を入れる. マスは上から第 \(1\) 行, 第 \(2\) 行, … , 左から第 \(1\) 列, 第 \(2\) 列, … , と数える. 数字の入れ方についての次の条件 \(p\) を考える.

1. 条件 \(p\) ： \(1\) から \(n-1\) までのどの整数 \(i , j\) についても, 第 \(i\) 行, 第 \(i+1\) 行と第 \(j\) 列, 第 \(j+1\) 列とが作る \(2 \times 2\) の \(4\) マスには \(0\) と \(1\) が \(2\) つずつ入る.

1. (1)　条件 \(p\) を満たすとき, 第 \(n\) 行と第 \(n\) 列の少なくとも一方には \(0\) と \(1\) が交互に現れることを示せ.

2. (2)　条件 \(p\) を満たすような数字の入れ方の総数 \(a _ n\) を求めよ.