多項式 \(f(x)\) について, 次の条件 (i) , (ii) , (iii) を考える.

1. (i)　\(x^4 f \left( \dfrac{1}{x} \right) = f(x)\)

2. (ii)　\(f(1-x) = f(x)\)

3. (iii)　\(f(1) = 1\)

このとき, 以下の問いに答えよ.

1. (1)　条件 (i) をみたす多項式 \(f(x)\) の次数は \(4\) 以下であることを示せ.

2. (2)　条件 (i) , (ii) , (iii) をすべてみたす多項式 \(f(x)\) を求めよ.

\(n\) を \(2\) 以上の自然数とする. 平面上の \(\triangle \text{OA} {} _ 1 \text{A} {} _ 2\) は \(\angle \text{OA} {} _ 2 \text{A} {} _ 1 = 90^{\circ}\) , \(\text{OA} {} _ 1 = 1\) , \(\text{A} {} _ 1 \text{A} {} _ 2 = \dfrac{1}{\sqrt{n}}\) をみたすとする. \(\text{A} {} _ 2\) から \(\text{OA} {} _ 1\) へ垂線をおろし, 交点を \(\text{A} {} _ 3\) とする. \(\text{A} {} _ 3\) から \(\text{OA} {} _ 2\) へ垂線をおろし, 交点を \(\text{A} {} _ 4\) とする. 以下同様に, \(k=4, 5, \cdots\) について, \(\text{A} {} _ k\) から \(\text{OA} {} _ {k-1}\) へ垂線をおろし, 交点を \(\text{A} {} _ {k+1}\) として, 順番に \(\text{A} {} _ 5 , \text{A} {} _ 6 , \cdots\) を定める. \(\overrightarrow{h _ k} = \overrightarrow{\text{A} {} _ k \text{A} {} _ {k+1}}\) とおくとき, 以下の問いに答えよ.

1. (1)　\(k=1, 2, \cdots\) のとき, ベクトル \(\overrightarrow{h _ k}\) と \(\overrightarrow{h _ {k+1}}\) の内積 \(\overrightarrow{h _ k} \cdot \overrightarrow{h _ {k+1}}\) を \(n\) と \(k\) で表せ.

2. (2)　\(S _ n = \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n} \overrightarrow{h _ k} \cdot \overrightarrow{h _ {k+1}}\) とおくとき, 極限値 \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} S _ n\) を求めよ. ここで, 自然対数の底 \(e\) について, \(e = \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \left( 1 +\dfrac{1}{n} \right)^n\) であることを用いてもよい.

\(\theta\) を \(0 \lt \theta \lt \dfrac{2 \pi}{3}\) の範囲にある実数とし, 空間の \(4\) 点 O , A , B , C が, \(\text{OA} = \text{OB} = \text{OC} = 1\) かつ \(\angle \text{AOB} = \angle \text{BOC} = \angle \text{COA} = \theta\) をみたすとする. このとき, 以下の問いに答えよ.

1. (1)　△ABC の重心を G とするとき, AG と OG をそれぞれ \(\theta\) で表せ.

2. (2)　\(\theta\) を動かしたとき, O , A , B , C を頂点とする四面体の体積の最大値を求めよ.

点 P が次のルール (i) , (ii) に従って数直線上を移動するものとする.

1. (i)　\(1, 2, 3, 4, 5, 6\) の目が同じ割合で出るサイコロを振り, 出た目の数を \(k\) とする. P の座標 \(a\) について, \(a \gt 0\) ならば座標 \(a-k\) の点へ移動し, \(a \lt 0\) ならば座標 \(a+k\) の点へ移動する.

2. (ii)　原点に移動したら終了し, そうでなければ (i) を繰り返す.

このとき, 以下の問いに答えよ.

1. (1)　P の座標が \(1, 2, \cdots , 6\) のいずれかであるとき, ちょうど \(3\) 回サイコロを振って原点で終了する確率を求めよ.

2. (2)　P の座標が \(1, 2, \cdots , 6\) のいずれかであるとき, ちょうど \(m\) 回サイコロを振って原点で終了する確率を求めよ.

3. (3)　P の座標が \(8\) であるとき, ちょうど \(n\) 回サイコロを振って原点で終了する確率を求めよ.

\(a\) を実数として, \(2\) 次の正方行列 \(A , B\) を次のように定める. \[ A = \left( \begin{array}{cc} 1 & a+1 \\ 0 & -1 \end{array} \right) , \quad B = \left( \begin{array}{cc} a & 0 \\ 2 & -a \end{array} \right) \] このとき, \(\left\{ ( \cos t ) A +( \sin t ) B \right\}^2 = O\) をみたす実数 \(t\) が存在するような \(a\) の範囲を求めよ. ただし, \(O\) は零行列とする.

\(k \gt 1\) として, \(f(x) = x^2+2kx\) とおく. 曲線 \(y=f(x)\) と円 \(C : \ x^2+y^2 = 1\) の \(2\) つの交点の内で, 第 \(1\) 象限にあるものを P とし, 第 \(3\) 象限にあるものを Q とする. 点 O \((0, 0)\) , A \((1, 0)\) , B \((-1, 0)\) に対して, \(\alpha = \angle \text{AOP}\) , \(\beta = \angle \text{BOQ}\) とおくとき, 以下の問いに答えよ.

1. (1)　\(k\) を \(\alpha\) で表せ.

2. (2)　曲線 \(y=f(x)\) と円 \(C\) で囲まれる \(2\) つの図形の内で, \(y = f(x)\) の上側にあるものの面積 \(S(k)\) を \(\alpha\) と \(\beta\) で表せ.

3. (3)　\(\displaystyle\lim _ {k \rightarrow \infty} S(k)\) を求めよ.