実数 \(a\) に対し, 不等式 \[ y \leqq 2ax -a^2 +2a +2 \] の表す座標平面上の領域を \(D(a)\) とおく.

1. (1)　\(-1 \leqq a \leqq 2\) を満たすすべての \(a\) に対し \(D(a)\) の点となるような点 \((p,q)\) の範囲を図示せよ.

2. (2)　\(-1 \leqq a \leqq 2\) を満たすいずれかの \(a\) に対し \(D(a)\) の点となるような点 \((p,q)\) の範囲を図示せよ.

\(a\) を実数とする. 円 \(C\) は点 \((a, -a)\) で直線 \(y = -x\) を接線にもち, 点 \((0,1)\) を通るものとする. \(C\) の中心を P \((X,Y)\) として, 以下の問いに答えよ.

1. (1)　\(X , Y\) を \(a\) を用いて表せ.

2. (2)　\(a\) が動くときの点Pの軌跡と直線 \(y = 1\) で囲まれる図形の面積を求めよ.

先生と \(3\) 人の生徒 A , B , C がおり, 玉の入った箱がある. 箱の中には最初, 赤玉 \(3\) 個, 白玉 \(7\) 個, 全部で \(10\) 個の玉が入っている. 先生がサイコロをふって, \(1\) の目が出たら A が, \(2\) または \(3\) の目が出たら B が, その他の目が出たら C が箱の中から \(1\) つだけ玉を取り出す操作を行う. 取り出した玉は箱の中に戻さず, 取り出した生徒のものとする. この操作を続けて行うものとして以下の問いに答えよ.
　ただし, サイコロの \(1\) から \(6\) の目の出る確率は等しいものとし, また, 箱の中のそれぞれの玉の取り出される確率は等しいものとする.

1. (1)　\(2\) 回目の操作が終わったとき, A が \(2\) 個の赤玉を手に入れている確率を求めよ.

2. (2)　\(2\) 回目の操作が終わったとき, B が少なくとも \(1\) 個の赤玉を手に入れている確率を求めよ.

3. (3)　\(3\) 回目の操作で, C が赤玉を取り出す確率を求めよ.

平面上に長さ \(3\) の線分 OA を考え, ベクトル \(\overrightarrow{\text{OA}}\) を \(\overrightarrow{a}\) で表す. \(0 \lt t \lt 1\) を満たす実数 \(t\) に対して, \(\overrightarrow{\text{OP}} = t \overrightarrow{a}\) となるように点 P を定める. 大きさ \(2\) のベクトル \(\overrightarrow{b}\) を \(\overrightarrow{a}\) と角 \(\theta \ ( 0 \lt \theta \lt \pi )\) をなすようにとり, 点 B を \(\overrightarrow{\text{OB}} = \overrightarrow{b}\) で定める. 線分 OB の中点を Q とし, 線分 AQ と線分 BP の交点を R とする.
　このとき, どのように \(\theta\) をとっても \(\overrightarrow{\text{OR}}\) と \(\overrightarrow{\text{AB}}\) が垂直にならないような \(t\) の値の範囲を求めよ.

\(a\) を実数, \(z\) を \(0\) でない複素数とする. \(z\) に共役な複素数を \(\overline{z}\) で表す.

1. (1)　次を満たす \(z\) を求めよ. \[ z -1 -\dfrac{a}{z} = 0 \]

2. (2)　次を満たす \(z\) が存在するような \(a\) の範囲を求めよ. \[ \overline{z} +1 -\dfrac{a}{z} = 0 \]

3. (3)　次を満たす \(z\) が存在するような \(a\) の範囲を求めよ. \[ z \left( \overline{z} \right)^2 +\overline{z} -\dfrac{a}{z} = 0 \]

行列 \[ A = \left( \begin{array}{cc} 3 & -1 \\ 4 & -1 \end{array} \right) \] の表す \(1\) 次変換を \(f\) とする. \(f\) による点 P \((1,1)\) の像を \(\text{P} {} _ 1\) とする. 正の整数 \(n\) に対し, \(\text{P} {} _ n\) の \(f\) による像を \(\text{P} {} _ {n+1}\) とする. \(\text{P} {} _ n\) が点 \((10, 10)\) に最も近くなるときの \(n\) の値を求めよ.