\(xy\) 平面において, 次の式が表す曲線を \(C\) とする. \[ x^2 +4y^2 = 1 , \ x \gt 0 , \ y \gt 0 \] P を \(C\) 上の点とする. P で \(C\) に接する直線を \(l\) とし, P を通り \(l\) と垂直な直線を \(m\) として, \(x\) 軸と \(y\) 軸と \(m\) で囲まれてできる三角形の面積を \(S\) とする. P が \(C\) 上の点全体を動くとき, \(S\) の最大値とそのときの P の座標を求めよ.

\(xy\) 平面において, \(3\) 次関数 \(y = x^3 -x\) のグラフを \(C\) とし, 不等式 \[ x^3 -x \gt y \gt -x \] の表す領域を \(D\) とする. また, P を \(D\) の点とする.

1. (1)　P を通り, \(C\) に接する直線が \(3\) 本存在することを示せ.

2. (2)　P を通り, \(C\) に接する \(3\) 本の直線の傾きの和と積がともに \(0\) になるような P の座標を求めよ.

サイコロを \(3\) 回投げて出た目の数を順に \(p _ 1 , p _ 2 \ p _ 3\) とし, \(x\) の \(2\) 次方程式 \[ 2 p _ 1 x^2 +p _ 2 x +2p _ 3 = 0 \quad ... \text{(＊)} \] を考える.

1. (1)　方程式 (＊) が実数解をもつ確率を求めよ.

2. (2)　方程式 (＊) が実数でない \(2\) つの複素数解 \(\alpha , \beta\) をもち, かつ \(\alpha \beta = 1\) が成り立つ確率を求めよ.

3. (3)　方程式 (＊) が実数でない \(2\) つの複素数解 \(\alpha , \beta\) をもち, かつ \(\alpha \beta \lt 1\) が成り立つ確率を求めよ.

\(a \gt 0\) を実数とする. \(n = 1, 2, 3, \cdots\) に対し, 座標平面の \(3\) 点 \[ ( 2n \pi , 0 ) , \ \left( \left( 2n +\dfrac{1}{2} \right) \pi , \dfrac{1}{\left\{ \left( 2n +\frac{1}{2} \right) \pi \right\}^a} \right) , \ \left( (2n+1) \pi , 0 \right) \] を頂点とする三角形の面積を \(A _ n\) とし, \[ B _ n = \displaystyle\int _ {2n \pi}^{(2n+1) \pi} \dfrac{\sin x}{x^a} \, dx , \ C _ n = \displaystyle\int _ {2n \pi}^{(2n+1) \pi} \dfrac{\sin^2 x}{x^a} \, dx \] とおく.

1. (1)　\(n = 1, 2, 3, \cdots\) に対し, 次の不等式が成り立つことを示せ. \[ \dfrac{2}{\left\{ (2n+1) \pi \right\}^a} \leqq B _ n \leqq \dfrac{2}{\left( 2n \pi \right)^a} \]

2. (2)　極限値 \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \dfrac{A _ n}{B _ n}\) を求めよ.

3. (3)　極限値 \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \dfrac{A _ n}{C _ n}\) を求めよ.

\(t \gt 0\) を実数とする. 座標平面において, \(3\) 点 A \(( -2 , 0 )\) , B \(( 2 , 0 )\) , C \(( t , \sqrt{3} t )\) を頂点とする三角形 ABP を考える.

1. (1)　三角形 ABP が鋭角三角形となるような \(t\) の範囲を求めよ.

2. (2)　三角形 ABP の垂心の座標を求めよ.

3. (3)　辺 AB , BP , PA の中点をそれぞれ M, Q, R とおく. \(t\) が (1) で求めた範囲を動くとき, 三角形 ABP を線分 MQ , QR , RM で折り曲げてできる四面体の体積の最大値と, そのときの \(t\) の値を求めよ. ,

\(k \geqq 2\) と \(n\) を自然数とする. \(n\) が \(k\) 個の連続する自然数の和であるとき, すなわち \[ n = m +(m+1) +\cdots +(m+k-1) \] が成り立つような自然数 \(m\) が存在するとき, \(n\) を \(k -\text{連続和}\) と呼ぶことにする. ただし, 自然数とは \(1\) 以上の整数のことである.

1. (1)　\(n\) が \(k -\text{連続和}\) であることは, 次の条件 (A) , (B) の両方が成り立つことと同値であることを示せ.

   1. (A)　\(\dfrac{n}{k} -\dfrac{k}{2} +\dfrac{1}{2}\) は整数である.

   2. (B)　\(2n \gt k^2\) が成り立つ.

2. (2)　\(f\) を自然数とする. \(n = 2^f\) のとき, \(n\) が \(k -\text{連続和}\) となるような自然数 \(k \geqq 2\) は存在しないことを示せ.

3. (3)　\(f\) を自然数とする. \(p\) を \(2\) でない素数とする. \(n = p^f\) のとき, \(n\) が \(k -\text{連続和}\) となるような自然数 \(k \geqq 2\) の個数を求めよ.