\(p\) を素数, \(n\) を \(0\) 以上の整数とする.

1. (1)　\(m\) は整数で \(0 \leqq m \leqq n\) とする. \(1\) から \(p^{n+1}\) までの整数の中で, \(p^m\) で割り切れ \(p^{m+1}\) で割り切れないものの個数を求めよ.

2. (2)　\(1\) から \(p^{n+1}\) までの \(2\) つの整数 \(x , y\) に対し, その積が \(p^{n+1}\) で割り切れるような組 \((x,y)\) の個数を求めよ.

正数 \(a\) に対して, 放物線 \(y = x^2\) 上の点 \(A \ (a,a^2)\) における接線を, \(A\) を中心に \(-30^{\circ}\) 回転した直線を \(\ell\) とする. \(\ell\) と \(y = x^2\) の交点で \(A\) でない方を \(B\) とする. さらに, 点 \((a,0)\) を \(C\) , 原点を \(O\) とする.

1. (1)　\(\ell\) の式を求めよ.

2. (2)　線分 \(OC , CA\) と \(y = x^2\) で囲まれる部分の面積を \(S(a)\) , 線分 \(AB\) と \(y = x^2\) で囲まれる部分の面積を \(T(a)\) とする. このとき \[ \displaystyle\lim _ {a \rightarrow \infty} \dfrac{T(a)}{S(a)} \] を求めよ.

一辺の長さが \(1\) の正八角形 \(A _ 1 A _ 2 \cdots A _ 8\) の周上を \(3\) 点 \(P , Q , R\) が動くとする.

1. (1)　\(\triangle PQR\) の面積の最大値を求めよ.

2. (2)　\(Q\) が正八角形の頂点 \(A _ 1\) に一致し, \(\angle PQR = 90^{\circ}\) となるとき \(\triangle PQR\) の面積の最大値を求めよ.

1. (1)　整数 \(n = 0, 1, 2, \cdots\) と正数 \(a _ n\) に対して \[ f _ n (x) = a _ n (x-n) (n+1-x) \] とおく. \(2\) つの曲線 \(y = f _ n (x)\) と \(y = e^{-x}\) が接するような \(a _ n\) を求めよ.

2. (2)　\(f _ n (x)\) は (1) で定めたものとする. \(y = f _ 0 (x) , \ y = e^{-x}\) と \(y\) 軸で囲まれる図形の面積を \(S _ 0 \ ( n \geqq 1 )\) に対し \(y = f _ {n-1} (x) , \ y = f _ {n} (x)\) と \(y = e^{-x}\) で囲まれる図形の面積を \(S _ n\) とおく. このとき \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \left( S _ 0 + S _ 1 + \cdots + S _ n \right) \] を求めよ.