正の実数 \(a , b\) に対し, \(x \gt 0\) で定義された \(2\) つの関数 \(x^a , \ \log bx\) のグラフが \(1\) 点で接するとする.

1. (1)　接点の座標 \(( s , t )\) を \(a\) を用いて表せ. また, \(b\) を \(a\) の関数として表せ.

2. (2)　\(0 \lt h \lt s\) をみたす \(h\) に対し, 直線 \(x = h\) および \(2\) つの曲線 \(y = x^a , \ y = \log bx\) で囲まれる領域の面積を \(A(h)\) とする. \(\displaystyle\lim _ {h \rightarrow 0} A(h)\) を \(a\) で表せ.

実数 \(x\) に対し, \(x\) 以上の最小の整数を \(f(x)\) とする. \(a , b\) を正の実数とするとき, 極限 \[ \displaystyle\lim _ {x \rightarrow \infty} x^c \left( \dfrac{1}{f(ax-7)} -\dfrac{1}{f(bx+3)} \right) \] が収束するような実数 \(c\) の最大値と, そのときの極限値を求めよ.

いびつなサイコロがあり, \(1\) から \(6\) までのそれぞれの目が出る確率が \(\dfrac{1}{6}\) とは限らないとする. このサイコロを \(2\) 回ふったとき同じ目が出る確率を \(P\) とし, \(1\) 回目に奇数, \(2\) 回目に偶数の目が出る確率を \(Q\) とする.

1. (1)　\(P \geqq \dfrac{1}{6}\) であることを示せ. また, 等号が成立するための必要十分条件を求めよ.

2. (2)　\(\dfrac{1}{4} \geqq Q \geqq \dfrac{1}{2} -\dfrac{3}{2} P\) であることを示せ.

平面の原点 \(O\) を端点とし, \(x\) 軸となす角がそれぞれ \(\alpha , -\alpha \ \left( \text{ただし} \ 0 \lt \alpha \lt \dfrac{\pi}{3} \right)\) である半直線を \(L _ 1 , L _ 2\) とする. \(L _ 1\) 上に点 \(P\) , \(L _ 2\) 上に点 \(Q\) を線分 \(PQ\) の長さが \(1\) となるようにとり, 点 \(R\) を直線 \(PQ\) に対し原点 \(O\) の反対側に \(\triangle PQR\) が正三角形になるようにとる.

1. (1)　線分 \(PQ\) が \(x\) 軸と直交するとき, 点 \(R\) の座標を求めよ.

2. (2)　\(2\) 点 \(P , Q\) が, 線分 \(PQ\) の長さを \(1\) に保ったまま \(L _ 1 , L _ 2\) 上を動くとき, 点 \(R\) の軌跡はある楕円の一部であることを示せ.