点 \(P\) から放物線 \(y=\dfrac{1}{2} x^2\) へ \(2\) 本の接線が引けるとき, \(2\) つの接点を \(A , B\) とし, 線分 \(PA , PB\) およびこの放物線で囲まれる図形の面積を \(S\) とする. \(PA , PB\) が直交するときの \(S\) の最小値を求めよ.

実数 \(a\) に対し, 次の \(1\) 次変換 \[ f(x,y) = \left( ax+(a-2)y , (a-2)x+ay \right) \] を考える. 以下の \(2\) 条件をみたす直線 \(L\) が存在するような \(a\) を求めよ.

1. (1)　\(L\) は点 \((0, 1)\) を通る.

2. (2)　点 \(Q\) が \(L\) 上にあれば, その \(f\) による \(f(Q)\) も \(L\) 上にある.

\(N\) を正の整数とする. \(2N\) 以下の正の整数 \(m\) , \(n\) からなる組 \((m, n)\) で, 方程式 \(x^2-nx+m=0\) が \(N\) 以上の実数解をもつようなものは何組あるか.

\(xyz\) 空間の原点と点 \((1, 1, 1)\) を通る直線を \(\ell\) とする.

1. (1)　\(\ell\) 上の点 \(\left( \dfrac{t}{3} , \dfrac{t}{3} , \dfrac{t}{3} \right)\) を通り \(\ell\) と垂直な平面が, \(xy\) 平面と交わってできる直線の方程式を求めよ.

2. (2)　不等式 \(0 \leqq y \leqq x(1-x)\) の表す \(xy\) 平面内の領域を \(D\) とする. \(\ell\) を軸として \(D\) を回転させて得られる回転体の体積を求めよ.